Matemática discreta Ejemplos

${(72 x^{2} + x)}^{2} - 74 (72 x^{2} + x) + 73 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Sea $u = 72 x^{2} + x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $72 x^{2} + x$ .

$u^{2} - 74 u + 73 = 0$

Paso 1.2

Factoriza $u^{2} - 74 u + 73$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $73$ y cuya suma es $- 74$ .

$- 73, - 1$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 73) (u - 1) = 0$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $72 x^{2} + x$ .

$(72 x^{2} + x - 73) (72 x^{2} + x - 1) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$72 x^{2} + x - 73 = 0$

$72 x^{2} + x - 1 = 0$

Paso 3

Establece $72 x^{2} + x - 73$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $72 x^{2} + x - 73$ igual a $0$ .

$72 x^{2} + x - 73 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $72 x^{2} + x - 73 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 72 \cdot - 73 = - 5256$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Multiplica por $1$ .

$72 x^{2} + 1 x - 73 = 0$

Paso 3.2.1.1.2

Reescribe $1$ como $- 72$ más $73$

$72 x^{2} + (- 72 + 73) x - 73 = 0$

Paso 3.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$72 x^{2} - 72 x + 73 x - 73 = 0$

Paso 3.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(72 x^{2} - 72 x) + 73 x - 73 = 0$

Paso 3.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$72 x (x - 1) + 73 (x - 1) = 0$

Paso 3.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 1$ .

$(x - 1) (72 x + 73) = 0$

Paso 3.2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$72 x + 73 = 0$

Paso 3.2.3

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.2.3.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 3.2.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 3.2.4

Establece $72 x + 73$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.2.4.1

Establece $72 x + 73$ igual a $0$ .

$72 x + 73 = 0$

Paso 3.2.4.2

Resuelve $72 x + 73 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.4.2.1

Resta $73$ de ambos lados de la ecuación.

$72 x = - 73$

Paso 3.2.4.2.2

Divide cada término en $72 x = - 73$ por $72$ y simplifica.

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Paso 3.2.4.2.2.1

Divide cada término en $72 x = - 73$ por $72$ .

$\frac{72 x}{72} = \frac{- 73}{72}$

Paso 3.2.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $72$ .

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Paso 3.2.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{72 x}{72} = \frac{- 73}{72}$

Paso 3.2.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 73}{72}$

Paso 3.2.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.4.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{73}{72}$

Paso 3.2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 1) (72 x + 73) = 0$ verdadera.

$x = 1, - \frac{73}{72}$

Paso 4

Establece $72 x^{2} + x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $72 x^{2} + x - 1$ igual a $0$ .

$72 x^{2} + x - 1 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $72 x^{2} + x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 72 \cdot - 1 = - 72$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Multiplica por $1$ .

$72 x^{2} + 1 x - 1 = 0$

Paso 4.2.1.1.2

Reescribe $1$ como $- 8$ más $9$

$72 x^{2} + (- 8 + 9) x - 1 = 0$

Paso 4.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$72 x^{2} - 8 x + 9 x - 1 = 0$

Paso 4.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(72 x^{2} - 8 x) + 9 x - 1 = 0$

Paso 4.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$8 x (9 x - 1) + 1 (9 x - 1) = 0$

Paso 4.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $9 x - 1$ .

$(9 x - 1) (8 x + 1) = 0$

Paso 4.2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$9 x - 1 = 0$

$8 x + 1 = 0$

Paso 4.2.3

Establece $9 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.2.3.1

Establece $9 x - 1$ igual a $0$ .

$9 x - 1 = 0$

Paso 4.2.3.2

Resuelve $9 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$9 x = 1$

Paso 4.2.3.2.2

Divide cada término en $9 x = 1$ por $9$ y simplifica.

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Paso 4.2.3.2.2.1

Divide cada término en $9 x = 1$ por $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

Paso 4.2.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 4.2.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

Paso 4.2.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{9}$

Paso 4.2.4

Establece $8 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.2.4.1

Establece $8 x + 1$ igual a $0$ .

$8 x + 1 = 0$

Paso 4.2.4.2

Resuelve $8 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$8 x = - 1$

Paso 4.2.4.2.2

Divide cada término en $8 x = - 1$ por $8$ y simplifica.

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Paso 4.2.4.2.2.1

Divide cada término en $8 x = - 1$ por $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 1}{8}$

Paso 4.2.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 4.2.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 1}{8}$

Paso 4.2.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{8}$

Paso 4.2.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.4.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{8}$

Paso 4.2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(9 x - 1) (8 x + 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{9}, - \frac{1}{8}$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(72 x^{2} + x - 73) (72 x^{2} + x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 1, - \frac{73}{72}, \frac{1}{9}, - \frac{1}{8}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = 1, - \frac{73}{72}, \frac{1}{9}, - \frac{1}{8}$

Forma decimal:

$x = 1, - 1.013\overline{8}, 0.\overline{1}, - 0.125$

Forma de número mixto:

$x = 1, - 1 \frac{1}{72}, \frac{1}{9}, - \frac{1}{8}$