Matemática discreta Ejemplos

${(x^{\frac{1}{3}} + y^{- 1})}^{- 1} = \frac{5}{11}$

Paso 1

Simplifica ambos lados.

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Paso 1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{y})}^{- 1} = \frac{5}{11}$

Paso 1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{y}} = \frac{5}{11}$

Paso 1.3

Simplifica el denominador.

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Paso 1.3.1

Para escribir $x^{\frac{1}{3}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{\frac{1}{3}} y}{y} + \frac{1}{y}} = \frac{5}{11}$

Paso 1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{\frac{x^{\frac{1}{3}} y + 1}{y}} = \frac{5}{11}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 \frac{y}{x^{\frac{1}{3}} y + 1} = \frac{5}{11}$

Paso 1.5

Multiplica $\frac{y}{x^{\frac{1}{3}} y + 1}$ por $1$ .

$\frac{y}{x^{\frac{1}{3}} y + 1} = \frac{5}{11}$

Paso 1.6

Reordena los factores en $\frac{y}{x^{\frac{1}{3}} y + 1} = \frac{5}{11}$ .

$\frac{y}{y x^{\frac{1}{3}} + 1} = \frac{5}{11}$

Paso 2

Multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción. Establece esto igual al producto del denominador de la primera fracción y al numerador de la segunda fracción.

$y \cdot 11 = (y x^{\frac{1}{3}} + 1) \cdot 5$

Paso 3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $(y x^{\frac{1}{3}} + 1) \cdot 5 = y \cdot 11$ .

$(y x^{\frac{1}{3}} + 1) \cdot 5 = y \cdot 11$

Paso 3.2

Divide cada término en $(y x^{\frac{1}{3}} + 1) \cdot 5 = y \cdot 11$ por $5$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $(y x^{\frac{1}{3}} + 1) \cdot 5 = y \cdot 11$ por $5$ .

$\frac{(y x^{\frac{1}{3}} + 1) \cdot 5}{5} = \frac{y \cdot 11}{5}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{(y x^{\frac{1}{3}} + 1) \cdot 5}{5} = \frac{y \cdot 11}{5}$

Paso 3.2.2.2

Divide $y x^{\frac{1}{3}} + 1$ por $1$ .

$y x^{\frac{1}{3}} + 1 = \frac{y \cdot 11}{5}$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Mueve $11$ a la izquierda de $y$ .

$y x^{\frac{1}{3}} + 1 = \frac{11 y}{5}$

Paso 3.3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y x^{\frac{1}{3}} - \frac{11 y}{5} = - 1$

Paso 3.3.2

Suma $\frac{11 y}{5}$ a ambos lados de la ecuación.

$y x^{\frac{1}{3}} = - 1 + \frac{11 y}{5}$

Paso 3.4

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(y x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1 + \frac{11 y}{5})}^{3}$

Paso 3.5

Simplifica el exponente.

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Paso 3.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.1.1

Simplifica ${(y x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.5.1.1.1

Aplica la regla del producto a $y x^{\frac{1}{3}}$ .

$y^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1 + \frac{11 y}{5})}^{3}$

Paso 3.5.1.1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.5.1.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{3} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1 + \frac{11 y}{5})}^{3}$

Paso 3.5.1.1.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.5.1.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$y^{3} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1 + \frac{11 y}{5})}^{3}$

Paso 3.5.1.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{3} x^{1} = {(- 1 + \frac{11 y}{5})}^{3}$

Paso 3.5.1.1.3

Simplifica.

$y^{3} x = {(- 1 + \frac{11 y}{5})}^{3}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.1

Simplifica ${(- 1 + \frac{11 y}{5})}^{3}$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Usa el teorema del binomio.

$y^{3} x = {(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} \frac{11 y}{5} + 3 \cdot - 1 {(\frac{11 y}{5})}^{2} + {(\frac{11 y}{5})}^{3}$

Paso 3.5.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.2.1.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$y^{3} x = - 1 + 3 {(- 1)}^{2} \frac{11 y}{5} + 3 \cdot - 1 {(\frac{11 y}{5})}^{2} + {(\frac{11 y}{5})}^{3}$

Paso 3.5.2.1.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$y^{3} x = - 1 + 3 \cdot 1 \frac{11 y}{5} + 3 \cdot - 1 {(\frac{11 y}{5})}^{2} + {(\frac{11 y}{5})}^{3}$

Paso 3.5.2.1.2.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$y^{3} x = - 1 + 3 \frac{11 y}{5} + 3 \cdot - 1 {(\frac{11 y}{5})}^{2} + {(\frac{11 y}{5})}^{3}$

Paso 3.5.2.1.2.4

Multiplica $3 \frac{11 y}{5}$ .

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Paso 3.5.2.1.2.4.1

Combina $3$ y $\frac{11 y}{5}$ .

$y^{3} x = - 1 + \frac{3 (11 y)}{5} + 3 \cdot - 1 {(\frac{11 y}{5})}^{2} + {(\frac{11 y}{5})}^{3}$

Paso 3.5.2.1.2.4.2

Multiplica $11$ por $3$ .

$y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} + 3 \cdot - 1 {(\frac{11 y}{5})}^{2} + {(\frac{11 y}{5})}^{3}$

Paso 3.5.2.1.2.5

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} - 3 {(\frac{11 y}{5})}^{2} + {(\frac{11 y}{5})}^{3}$

Paso 3.5.2.1.2.6

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.5.2.1.2.6.1

Aplica la regla del producto a $\frac{11 y}{5}$ .

$y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} - 3 \frac{{(11 y)}^{2}}{5^{2}} + {(\frac{11 y}{5})}^{3}$

Paso 3.5.2.1.2.6.2

Aplica la regla del producto a $11 y$ .

$y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} - 3 \frac{11^{2} y^{2}}{5^{2}} + {(\frac{11 y}{5})}^{3}$

Paso 3.5.2.1.2.7

Eleva $11$ a la potencia de $2$ .

$y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} - 3 \frac{121 y^{2}}{5^{2}} + {(\frac{11 y}{5})}^{3}$

Paso 3.5.2.1.2.8

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} - 3 \frac{121 y^{2}}{25} + {(\frac{11 y}{5})}^{3}$

Paso 3.5.2.1.2.9

Multiplica $- 3 \frac{121 y^{2}}{25}$ .

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Paso 3.5.2.1.2.9.1

Combina $- 3$ y $\frac{121 y^{2}}{25}$ .

$y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} + \frac{- 3 (121 y^{2})}{25} + {(\frac{11 y}{5})}^{3}$

Paso 3.5.2.1.2.9.2

Multiplica $121$ por $- 3$ .

$y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} + \frac{- 363 y^{2}}{25} + {(\frac{11 y}{5})}^{3}$

Paso 3.5.2.1.2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} - \frac{363 y^{2}}{25} + {(\frac{11 y}{5})}^{3}$

Paso 3.5.2.1.2.11

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.5.2.1.2.11.1

Aplica la regla del producto a $\frac{11 y}{5}$ .

$y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} - \frac{363 y^{2}}{25} + \frac{{(11 y)}^{3}}{5^{3}}$

Paso 3.5.2.1.2.11.2

Aplica la regla del producto a $11 y$ .

$y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} - \frac{363 y^{2}}{25} + \frac{11^{3} y^{3}}{5^{3}}$

Paso 3.5.2.1.2.12

Eleva $11$ a la potencia de $3$ .

$y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} - \frac{363 y^{2}}{25} + \frac{1331 y^{3}}{5^{3}}$

Paso 3.5.2.1.2.13

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} - \frac{363 y^{2}}{25} + \frac{1331 y^{3}}{125}$

Paso 3.6

Divide cada término en $y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} - \frac{363 y^{2}}{25} + \frac{1331 y^{3}}{125}$ por $y^{3}$ y simplifica.

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Paso 3.6.1

Divide cada término en $y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} - \frac{363 y^{2}}{25} + \frac{1331 y^{3}}{125}$ por $y^{3}$ .

$\frac{y^{3} x}{y^{3}} = \frac{- 1}{y^{3}} + \frac{\frac{33 y}{5}}{y^{3}} + \frac{- \frac{363 y^{2}}{25}}{y^{3}} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Paso 3.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.2.1

Cancela el factor común de $y^{3}$ .

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Paso 3.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{3} x}{y^{3}} = \frac{- 1}{y^{3}} + \frac{\frac{33 y}{5}}{y^{3}} + \frac{- \frac{363 y^{2}}{25}}{y^{3}} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Paso 3.6.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{y^{3}} + \frac{\frac{33 y}{5}}{y^{3}} + \frac{- \frac{363 y^{2}}{25}}{y^{3}} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Paso 3.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.6.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{\frac{33 y}{5}}{y^{3}} + \frac{- \frac{363 y^{2}}{25}}{y^{3}} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Paso 3.6.3.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33 y}{5} \cdot \frac{1}{y^{3}} + \frac{- \frac{363 y^{2}}{25}}{y^{3}} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Paso 3.6.3.1.3

Combinar.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33 y \cdot 1}{5 y^{3}} + \frac{- \frac{363 y^{2}}{25}}{y^{3}} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Paso 3.6.3.1.4

Cancela el factor común de $y$ y $y^{3}$ .

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Paso 3.6.3.1.4.1

Factoriza $y$ de $33 y \cdot 1$ .

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{y (33 \cdot 1)}{5 y^{3}} + \frac{- \frac{363 y^{2}}{25}}{y^{3}} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Paso 3.6.3.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.6.3.1.4.2.1

Factoriza $y$ de $5 y^{3}$ .

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{y (33 \cdot 1)}{y (5 y^{2})} + \frac{- \frac{363 y^{2}}{25}}{y^{3}} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Paso 3.6.3.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{y (33 \cdot 1)}{y (5 y^{2})} + \frac{- \frac{363 y^{2}}{25}}{y^{3}} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Paso 3.6.3.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33 \cdot 1}{5 y^{2}} + \frac{- \frac{363 y^{2}}{25}}{y^{3}} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Paso 3.6.3.1.5

Multiplica $33$ por $1$ .

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33}{5 y^{2}} + \frac{- \frac{363 y^{2}}{25}}{y^{3}} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Paso 3.6.3.1.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33}{5 y^{2}} - \frac{363 y^{2}}{25} \cdot \frac{1}{y^{3}} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Paso 3.6.3.1.7

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 3.6.3.1.7.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{363 y^{2}}{25}$ al numerador.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33}{5 y^{2}} + \frac{- 363 y^{2}}{25} \cdot \frac{1}{y^{3}} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Paso 3.6.3.1.7.2

Factoriza $y^{2}$ de $- 363 y^{2}$ .

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33}{5 y^{2}} + \frac{y^{2} \cdot - 363}{25} \cdot \frac{1}{y^{3}} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Paso 3.6.3.1.7.3

Factoriza $y^{2}$ de $y^{3}$ .

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33}{5 y^{2}} + \frac{y^{2} \cdot - 363}{25} \cdot \frac{1}{y^{2} y} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Paso 3.6.3.1.7.4

Cancela el factor común.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33}{5 y^{2}} + \frac{y^{2} \cdot - 363}{25} \cdot \frac{1}{y^{2} y} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Paso 3.6.3.1.7.5

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33}{5 y^{2}} + \frac{- 363}{25} \cdot \frac{1}{y} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Paso 3.6.3.1.8

Multiplica $\frac{- 363}{25}$ por $\frac{1}{y}$ .

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33}{5 y^{2}} + \frac{- 363}{25 y} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Paso 3.6.3.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33}{5 y^{2}} - \frac{363}{25 y} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Paso 3.6.3.1.10

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33}{5 y^{2}} - \frac{363}{25 y} + \frac{1331 y^{3}}{125} \cdot \frac{1}{y^{3}}$

Paso 3.6.3.1.11

Combinar.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33}{5 y^{2}} - \frac{363}{25 y} + \frac{1331 y^{3} \cdot 1}{125 y^{3}}$

Paso 3.6.3.1.12

Cancela el factor común de $y^{3}$ .

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Paso 3.6.3.1.12.1

Cancela el factor común.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33}{5 y^{2}} - \frac{363}{25 y} + \frac{1331 y^{3} \cdot 1}{125 y^{3}}$

Paso 3.6.3.1.12.2

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33}{5 y^{2}} - \frac{363}{25 y} + \frac{1331 \cdot 1}{125}$

Paso 3.6.3.1.13

Multiplica $1331$ por $1$ .

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33}{5 y^{2}} - \frac{363}{25 y} + \frac{1331}{125}$