Matemática discreta Ejemplos

${(\sqrt{2})}^{x + 7} = 8^{x}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{x + 7} = 8^{x}$

Paso 2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} (x + 7)} = 8^{x}$

Paso 3

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$2^{\frac{1}{2} (x + 7)} = 2^{3 x}$

Paso 4

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$\frac{1}{2} (x + 7) = 3 x$

Paso 5

Resuelve $x$

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Paso 5.1

Simplifica $\frac{1}{2} \cdot (x + 7)$ .

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Paso 5.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot (x + 7) = 3 x$

Paso 5.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$\frac{1}{2} \cdot (x + 7) = 3 x$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot 7 = 3 x$

Paso 5.1.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot 7 = 3 x$

Paso 5.1.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $7$ .

$\frac{x}{2} + \frac{7}{2} = 3 x$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Resta $3 x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{x}{2} + \frac{7}{2} - 3 x = 0$

Paso 5.2.2

Para escribir $- 3 x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} - 3 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2} = 0$

Paso 5.2.3

Combina $- 3 x$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{- 3 x \cdot 2}{2} + \frac{7}{2} = 0$

Paso 5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x - 3 x \cdot 2}{2} + \frac{7}{2} = 0$

Paso 5.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x - 3 x \cdot 2 + 7}{2} = 0$

Paso 5.2.6

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{x - 6 x + 7}{2} = 0$

Paso 5.2.7

Resta $6 x$ de $x$ .

$\frac{- 5 x + 7}{2} = 0$

Paso 5.2.8

Factoriza $- 1$ de $- 5 x$ .

$\frac{- (5 x) + 7}{2} = 0$

Paso 5.2.9

Reescribe $7$ como $- 1 (- 7)$ .

$\frac{- (5 x) - 1 (- 7)}{2} = 0$

Paso 5.2.10

Factoriza $- 1$ de $- (5 x) - 1 (- 7)$ .

$\frac{- (5 x - 7)}{2} = 0$

Paso 5.2.11

Reescribe $- (5 x - 7)$ como $- 1 (5 x - 7)$ .

$\frac{- 1 (5 x - 7)}{2} = 0$

Paso 5.2.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5 x - 7}{2} = 0$

Paso 5.3

Establece el numerador igual a cero.

$5 x - 7 = 0$

Paso 5.4

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 5.4.1

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$5 x = 7$

Paso 5.4.2

Divide cada término en $5 x = 7$ por $5$ y simplifica.

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Paso 5.4.2.1

Divide cada término en $5 x = 7$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{7}{5}$

Paso 5.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{7}{5}$

Paso 5.4.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{7}{5}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{7}{5}$

Forma decimal:

$x = 1.4$

Forma de número mixto:

$x = 1 \frac{2}{5}$