Matemática discreta Ejemplos

${(\frac{5}{6})}^{x} = \frac{36}{25}$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln ({(\frac{5}{6})}^{x}) = \ln (\frac{36}{25})$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Expande $\ln ({(\frac{5}{6})}^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (\frac{5}{6}) = \ln (\frac{36}{25})$

Paso 2.2

Reescribe $\ln (\frac{5}{6})$ como $\ln (5) - \ln (6)$ .

$x (\ln (5) - \ln (6)) = \ln (\frac{36}{25})$

Paso 2.3

Reescribe $\ln (6)$ como $\ln (2 (3))$ .

$x (\ln (5) - \ln (2 (3))) = \ln (\frac{36}{25})$

Paso 2.4

Reescribe $\ln (2 (3))$ como $\ln (2) + \ln (3)$ .

$x (\ln (5) - (\ln (2) + \ln (3))) = \ln (\frac{36}{25})$

Paso 2.5

Aplica la propiedad distributiva.

$x (\ln (5) - \ln (2) - \ln (3)) = \ln (\frac{36}{25})$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Simplifica $x (\ln (5) - \ln (2) - \ln (3))$ .

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Paso 3.1.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x (\ln (\frac{5}{2}) - \ln (3)) = \ln (\frac{36}{25})$

Paso 3.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (\frac{\frac{5}{2}}{3}) = \ln (\frac{36}{25})$

Paso 3.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x \ln (\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{3}) = \ln (\frac{36}{25})$

Paso 3.1.4

Multiplica $\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 3.1.4.1

Multiplica $\frac{5}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$x \ln (\frac{5}{2 \cdot 3}) = \ln (\frac{36}{25})$

Paso 3.1.4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x \ln (\frac{5}{6}) = \ln (\frac{36}{25})$

Paso 4

Divide cada término en $x \ln (\frac{5}{6}) = \ln (\frac{36}{25})$ por $\ln (\frac{5}{6})$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en $x \ln (\frac{5}{6}) = \ln (\frac{36}{25})$ por $\ln (\frac{5}{6})$ .

$\frac{x \ln (\frac{5}{6})}{\ln (\frac{5}{6})} = \frac{\ln (\frac{36}{25})}{\ln (\frac{5}{6})}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $\ln (\frac{5}{6})$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (\frac{5}{6})}{\ln (\frac{5}{6})} = \frac{\ln (\frac{36}{25})}{\ln (\frac{5}{6})}$

Paso 4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{36}{25})}{\ln (\frac{5}{6})}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{\ln (\frac{36}{25})}{\ln (\frac{5}{6})}$

Forma decimal:

$x = - 2$