Matemática discreta Ejemplos

$(12 x - 1) \cdot (6 x - 1) \cdot (4 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Paso 1

Simplifica $(12 x - 1) \cdot (6 x - 1) \cdot (4 x - 1) \cdot (3 x - 1)$ .

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Paso 1.1

Expande $(12 x - 1) (6 x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(12 x (6 x - 1) - 1 (6 x - 1)) \cdot (4 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Paso 1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(12 x (6 x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (6 x - 1)) \cdot (4 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Paso 1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(12 x (6 x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1) \cdot (4 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Paso 1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(12 \cdot 6 x \cdot x + 12 x \cdot - 1 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1) \cdot (4 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Paso 1.2.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.1.2.1

Mueve $x$ .

$(12 \cdot 6 (x \cdot x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1) \cdot (4 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Paso 1.2.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$(12 \cdot 6 x^{2} + 12 x \cdot - 1 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1) \cdot (4 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Paso 1.2.1.3

Multiplica $12$ por $6$ .

$(72 x^{2} + 12 x \cdot - 1 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1) \cdot (4 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Paso 1.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $12$ .

$(72 x^{2} - 12 x - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1) \cdot (4 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Paso 1.2.1.5

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$(72 x^{2} - 12 x - 6 x - 1 \cdot - 1) \cdot (4 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Paso 1.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$(72 x^{2} - 12 x - 6 x + 1) \cdot (4 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Paso 1.2.2

Resta $6 x$ de $- 12 x$ .

$(72 x^{2} - 18 x + 1) \cdot (4 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Paso 1.3

Expande $(72 x^{2} - 18 x + 1) (4 x - 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$(72 x^{2} (4 x) + 72 x^{2} \cdot - 1 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Paso 1.4

Simplifica los términos.

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Paso 1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(72 \cdot 4 x^{2} x + 72 x^{2} \cdot - 1 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Paso 1.4.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.1.2.1

Mueve $x$ .

$(72 \cdot 4 (x \cdot x^{2}) + 72 x^{2} \cdot - 1 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Paso 1.4.1.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.4.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(72 \cdot 4 (x^{1} x^{2}) + 72 x^{2} \cdot - 1 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Paso 1.4.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(72 \cdot 4 x^{1 + 2} + 72 x^{2} \cdot - 1 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Paso 1.4.1.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$(72 \cdot 4 x^{3} + 72 x^{2} \cdot - 1 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Paso 1.4.1.3

Multiplica $72$ por $4$ .

$(288 x^{3} + 72 x^{2} \cdot - 1 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Paso 1.4.1.4

Multiplica $- 1$ por $72$ .

$(288 x^{3} - 72 x^{2} - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Paso 1.4.1.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(288 x^{3} - 72 x^{2} - 18 \cdot 4 x \cdot x - 18 x \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Paso 1.4.1.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.1.6.1

Mueve $x$ .

$(288 x^{3} - 72 x^{2} - 18 \cdot 4 (x \cdot x) - 18 x \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Paso 1.4.1.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$(288 x^{3} - 72 x^{2} - 18 \cdot 4 x^{2} - 18 x \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Paso 1.4.1.7

Multiplica $- 18$ por $4$ .

$(288 x^{3} - 72 x^{2} - 72 x^{2} - 18 x \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Paso 1.4.1.8

Multiplica $- 1$ por $- 18$ .

$(288 x^{3} - 72 x^{2} - 72 x^{2} + 18 x + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Paso 1.4.1.9

Multiplica $4 x$ por $1$ .

$(288 x^{3} - 72 x^{2} - 72 x^{2} + 18 x + 4 x + 1 \cdot - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Paso 1.4.1.10

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(288 x^{3} - 72 x^{2} - 72 x^{2} + 18 x + 4 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Paso 1.4.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 1.4.2.1

Resta $72 x^{2}$ de $- 72 x^{2}$ .

$(288 x^{3} - 144 x^{2} + 18 x + 4 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Paso 1.4.2.2

Suma $18 x$ y $4 x$ .

$(288 x^{3} - 144 x^{2} + 22 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Paso 1.5

Expande $(288 x^{3} - 144 x^{2} + 22 x - 1) (3 x - 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$288 x^{3} (3 x) + 288 x^{3} \cdot - 1 - 144 x^{2} (3 x) - 144 x^{2} \cdot - 1 + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Paso 1.6

Simplifica los términos.

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Paso 1.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$288 \cdot 3 x^{3} x + 288 x^{3} \cdot - 1 - 144 x^{2} (3 x) - 144 x^{2} \cdot - 1 + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Paso 1.6.1.2

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.6.1.2.1

Mueve $x$ .

$288 \cdot 3 (x \cdot x^{3}) + 288 x^{3} \cdot - 1 - 144 x^{2} (3 x) - 144 x^{2} \cdot - 1 + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Paso 1.6.1.2.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 1.6.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$288 \cdot 3 (x^{1} x^{3}) + 288 x^{3} \cdot - 1 - 144 x^{2} (3 x) - 144 x^{2} \cdot - 1 + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Paso 1.6.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$288 \cdot 3 x^{1 + 3} + 288 x^{3} \cdot - 1 - 144 x^{2} (3 x) - 144 x^{2} \cdot - 1 + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Paso 1.6.1.2.3

Suma $1$ y $3$ .

$288 \cdot 3 x^{4} + 288 x^{3} \cdot - 1 - 144 x^{2} (3 x) - 144 x^{2} \cdot - 1 + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Paso 1.6.1.3

Multiplica $288$ por $3$ .

$864 x^{4} + 288 x^{3} \cdot - 1 - 144 x^{2} (3 x) - 144 x^{2} \cdot - 1 + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Paso 1.6.1.4

Multiplica $- 1$ por $288$ .

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 144 x^{2} (3 x) - 144 x^{2} \cdot - 1 + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Paso 1.6.1.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 144 \cdot 3 x^{2} x - 144 x^{2} \cdot - 1 + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Paso 1.6.1.6

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.6.1.6.1

Mueve $x$ .

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 144 \cdot 3 (x \cdot x^{2}) - 144 x^{2} \cdot - 1 + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Paso 1.6.1.6.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.6.1.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 144 \cdot 3 (x^{1} x^{2}) - 144 x^{2} \cdot - 1 + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Paso 1.6.1.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 144 \cdot 3 x^{1 + 2} - 144 x^{2} \cdot - 1 + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Paso 1.6.1.6.3

Suma $1$ y $2$ .

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 144 \cdot 3 x^{3} - 144 x^{2} \cdot - 1 + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Paso 1.6.1.7

Multiplica $- 144$ por $3$ .

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 432 x^{3} - 144 x^{2} \cdot - 1 + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Paso 1.6.1.8

Multiplica $- 1$ por $- 144$ .

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 432 x^{3} + 144 x^{2} + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Paso 1.6.1.9

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 432 x^{3} + 144 x^{2} + 22 \cdot 3 x \cdot x + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Paso 1.6.1.10

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.6.1.10.1

Mueve $x$ .

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 432 x^{3} + 144 x^{2} + 22 \cdot 3 (x \cdot x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Paso 1.6.1.10.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 432 x^{3} + 144 x^{2} + 22 \cdot 3 x^{2} + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Paso 1.6.1.11

Multiplica $22$ por $3$ .

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 432 x^{3} + 144 x^{2} + 66 x^{2} + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Paso 1.6.1.12

Multiplica $- 1$ por $22$ .

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 432 x^{3} + 144 x^{2} + 66 x^{2} - 22 x - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Paso 1.6.1.13

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 432 x^{3} + 144 x^{2} + 66 x^{2} - 22 x - 3 x - 1 \cdot - 1 = 5$

Paso 1.6.1.14

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 432 x^{3} + 144 x^{2} + 66 x^{2} - 22 x - 3 x + 1 = 5$

Paso 1.6.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 1.6.2.1

Resta $432 x^{3}$ de $- 288 x^{3}$ .

$864 x^{4} - 720 x^{3} + 144 x^{2} + 66 x^{2} - 22 x - 3 x + 1 = 5$

Paso 1.6.2.2

Suma $144 x^{2}$ y $66 x^{2}$ .

$864 x^{4} - 720 x^{3} + 210 x^{2} - 22 x - 3 x + 1 = 5$

Paso 1.6.2.3

Resta $3 x$ de $- 22 x$ .

$864 x^{4} - 720 x^{3} + 210 x^{2} - 25 x + 1 = 5$

Paso 2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$864 x^{4} - 720 x^{3} + 210 x^{2} - 25 x + 1 - 5 = 0$

Paso 3

Resta $5$ de $1$ .

$864 x^{4} - 720 x^{3} + 210 x^{2} - 25 x - 4 = 0$

Paso 4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1

Factoriza $864 x^{4} - 720 x^{3} + 210 x^{2} - 25 x - 4$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 4.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 864, \pm 2, \pm 432, \pm 3, \pm 288, \pm 4, \pm 216, \pm 6, \pm 144, \pm 8, \pm 108, \pm 9, \pm 96, \pm 12, \pm 72, \pm 16, \pm 54, \pm 18, \pm 48, \pm 24, \pm 36, \pm 27, \pm 32$

Paso 4.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.0011574, \pm 0.5, \pm 0.0023\overline{148}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.00347\overline{2}, \pm 0.25, \pm 0.004\overline{629}, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.0069\overline{4}, \pm 0.125, \pm 0.00\overline{925}, \pm 0.\overline{1}, \pm 0.01041\overline{6}, \pm 0.08\overline{3}, \pm 0.013\overline{8}, \pm 0.0625, \pm 0.0\overline{185}, \pm 0.0\overline{5}, \pm 0.0208\overline{3}, \pm 0.041\overline{6}, \pm 0.02\overline{7}, \pm 0.\overline{037}, \pm 0.03125, \pm 4, \pm 2, \pm 1.\overline{3}, \pm 0.\overline{6}, \pm 0.\overline{4}, \pm 0.\overline{074}, \pm 0.\overline{2}, \pm 0.\overline{148}$

Paso 4.1.3

Sustituye $- 0.08\overline{3}$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 0.08\overline{3}$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1.3.1

Sustituye $- 0.08\overline{3}$ en el polinomio.

$864 {(- 0.08\overline{3})}^{4} - 720 {(- 0.08\overline{3})}^{3} + 210 {(- 0.08\overline{3})}^{2} - 25 \cdot - 0.08\overline{3} - 4$

Paso 4.1.3.2

Eleva $- 0.08\overline{3}$ a la potencia de $4$ .

$864 \cdot 0.00004822 - 720 {(- 0.08\overline{3})}^{3} + 210 {(- 0.08\overline{3})}^{2} - 25 \cdot - 0.08\overline{3} - 4$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $864$ por $0.00004822$ .

$0.04166666 - 720 {(- 0.08\overline{3})}^{3} + 210 {(- 0.08\overline{3})}^{2} - 25 \cdot - 0.08\overline{3} - 4$

Paso 4.1.3.4

Eleva $- 0.08\overline{3}$ a la potencia de $3$ .

$0.04166666 - 720 \cdot - 0.0005787 + 210 {(- 0.08\overline{3})}^{2} - 25 \cdot - 0.08\overline{3} - 4$

Paso 4.1.3.5

Multiplica $- 720$ por $- 0.0005787$ .

$0.04166666 + 0.41666666 + 210 {(- 0.08\overline{3})}^{2} - 25 \cdot - 0.08\overline{3} - 4$

Paso 4.1.3.6

Suma $0.04166666$ y $0.41666666$ .

$0.45833333 + 210 {(- 0.08\overline{3})}^{2} - 25 \cdot - 0.08\overline{3} - 4$

Paso 4.1.3.7

Eleva $- 0.08\overline{3}$ a la potencia de $2$ .

$0.45833333 + 210 \cdot 0.0069\overline{4} - 25 \cdot - 0.08\overline{3} - 4$

Paso 4.1.3.8

Multiplica $210$ por $0.0069\overline{4}$ .

$0.45833333 + 1.45833333 - 25 \cdot - 0.08\overline{3} - 4$

Paso 4.1.3.9

Suma $0.45833333$ y $1.45833333$ .

$1.91666666 - 25 \cdot - 0.08\overline{3} - 4$

Paso 4.1.3.10

Multiplica $- 25$ por $- 0.08\overline{3}$ .

$1.91666666 + 2.08333333 - 4$

Paso 4.1.3.11

Suma $1.91666666$ y $2.08333333$ .

$4 - 4$

Paso 4.1.3.12

Resta $4$ de $4$ .

$0$

Paso 4.1.4

Como $- 0.08\overline{3}$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $12 x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{864 x^{4} - 720 x^{3} + 210 x^{2} - 25 x - 4}{12 x + 1}$

Paso 4.1.5

Divide $864 x^{4} - 720 x^{3} + 210 x^{2} - 25 x - 4$ por $12 x + 1$ .

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Paso 4.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

Paso 4.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $864 x^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $12 x$ .

$72 x^{3}$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

Paso 4.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$72 x^{3}$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

$864 x^{4}$

$72 x^{3}$

Paso 4.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $864 x^{4} + 72 x^{3}$ .

				$72 x^{3}$
$12 x$	+	$1$		$864 x^{4}$	-	$720 x^{3}$	+	$210 x^{2}$	-	$25 x$	-	$4$
			-	$864 x^{4}$	-	$72 x^{3}$

Paso 4.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$72 x^{3}$
$12 x$	+	$1$		$864 x^{4}$	-	$720 x^{3}$	+	$210 x^{2}$	-	$25 x$	-	$4$
			-	$864 x^{4}$	-	$72 x^{3}$
					-	$792 x^{3}$

Paso 4.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$72 x^{3}$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

$864 x^{4}$

$72 x^{3}$

$792 x^{3}$

$210 x^{2}$

Paso 4.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 792 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $12 x$ .

$72 x^{3}$

$66 x^{2}$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

$864 x^{4}$

$72 x^{3}$

$792 x^{3}$

$210 x^{2}$

Paso 4.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$
$12 x$	+	$1$		$864 x^{4}$	-	$720 x^{3}$	+	$210 x^{2}$	-	$25 x$	-	$4$
			-	$864 x^{4}$	-	$72 x^{3}$
					-	$792 x^{3}$	+	$210 x^{2}$
					-	$792 x^{3}$	-	$66 x^{2}$

Paso 4.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 792 x^{3} - 66 x^{2}$ .

$72 x^{3}$

$66 x^{2}$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

$864 x^{4}$

$72 x^{3}$

$792 x^{3}$

$210 x^{2}$

$792 x^{3}$

$66 x^{2}$

Paso 4.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$72 x^{3}$

$66 x^{2}$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

$864 x^{4}$

$72 x^{3}$

$792 x^{3}$

$210 x^{2}$

$792 x^{3}$

$66 x^{2}$

$276 x^{2}$

Paso 4.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$72 x^{3}$

$66 x^{2}$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

$864 x^{4}$

$72 x^{3}$

$792 x^{3}$

$210 x^{2}$

$792 x^{3}$

$66 x^{2}$

$276 x^{2}$

$25 x$

Paso 4.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $276 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $12 x$ .

$72 x^{3}$

$66 x^{2}$

$23 x$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

$864 x^{4}$

$72 x^{3}$

$792 x^{3}$

$210 x^{2}$

$792 x^{3}$

$66 x^{2}$

$276 x^{2}$

$25 x$

Paso 4.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$72 x^{3}$

$66 x^{2}$

$23 x$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

$864 x^{4}$

$72 x^{3}$

$792 x^{3}$

$210 x^{2}$

$792 x^{3}$

$66 x^{2}$

$276 x^{2}$

$25 x$

$276 x^{2}$

$23 x$

Paso 4.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $276 x^{2} + 23 x$ .

$72 x^{3}$

$66 x^{2}$

$23 x$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

$864 x^{4}$

$72 x^{3}$

$792 x^{3}$

$210 x^{2}$

$792 x^{3}$

$66 x^{2}$

$276 x^{2}$

$25 x$

$276 x^{2}$

$23 x$

Paso 4.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$72 x^{3}$

$66 x^{2}$

$23 x$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

$864 x^{4}$

$72 x^{3}$

$792 x^{3}$

$210 x^{2}$

$792 x^{3}$

$66 x^{2}$

$276 x^{2}$

$25 x$

$276 x^{2}$

$23 x$

$48 x$

Paso 4.1.5.16

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$72 x^{3}$

$66 x^{2}$

$23 x$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

$864 x^{4}$

$72 x^{3}$

$792 x^{3}$

$210 x^{2}$

$792 x^{3}$

$66 x^{2}$

$276 x^{2}$

$25 x$

$276 x^{2}$

$23 x$

$48 x$

$4$

Paso 4.1.5.17

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 48 x$ por el término de mayor orden en el divisor $12 x$ .

$72 x^{3}$

$66 x^{2}$

$23 x$

$4$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

$864 x^{4}$

$72 x^{3}$

$792 x^{3}$

$210 x^{2}$

$792 x^{3}$

$66 x^{2}$

$276 x^{2}$

$25 x$

$276 x^{2}$

$23 x$

$48 x$

$4$

Paso 4.1.5.18

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
$12 x$	+	$1$		$864 x^{4}$	-	$720 x^{3}$	+	$210 x^{2}$	-	$25 x$	-	$4$
			-	$864 x^{4}$	-	$72 x^{3}$
					-	$792 x^{3}$	+	$210 x^{2}$
					+	$792 x^{3}$	+	$66 x^{2}$
							+	$276 x^{2}$	-	$25 x$
							-	$276 x^{2}$	-	$23 x$
									-	$48 x$	-	$4$
									-	$48 x$	-	$4$

Paso 4.1.5.19

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 48 x - 4$ .

$72 x^{3}$

$66 x^{2}$

$23 x$

$4$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

$864 x^{4}$

$72 x^{3}$

$792 x^{3}$

$210 x^{2}$

$792 x^{3}$

$66 x^{2}$

$276 x^{2}$

$25 x$

$276 x^{2}$

$23 x$

$48 x$

$4$

$48 x$

$4$

Paso 4.1.5.20

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$72 x^{3}$

$66 x^{2}$

$23 x$

$4$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

$864 x^{4}$

$72 x^{3}$

$792 x^{3}$

$210 x^{2}$

$792 x^{3}$

$66 x^{2}$

$276 x^{2}$

$25 x$

$276 x^{2}$

$23 x$

$48 x$

$4$

$48 x$

$4$

$0$

Paso 4.1.5.21

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$72 x^{3} - 66 x^{2} + 23 x - 4$

Paso 4.1.6

Escribe $864 x^{4} - 720 x^{3} + 210 x^{2} - 25 x - 4$ como un conjunto de factores.

$(12 x + 1) (72 x^{3} - 66 x^{2} + 23 x - 4) = 0$

Paso 4.2

Factoriza $72 x^{3} - 66 x^{2} + 23 x - 4$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 4.2.1

Factoriza $72 x^{3} - 66 x^{2} + 23 x - 4$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 4.2.1.1

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 72, \pm 2, \pm 36, \pm 3, \pm 24, \pm 4, \pm 18, \pm 6, \pm 12, \pm 8, \pm 9$

Paso 4.2.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.013\overline{8}, \pm 0.5, \pm 0.02\overline{7}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.041\overline{6}, \pm 0.25, \pm 0.0\overline{5}, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.08\overline{3}, \pm 0.125, \pm 0.\overline{1}, \pm 4, \pm 2, \pm 1.\overline{3}, \pm 0.\overline{2}, \pm 0.\overline{6}, \pm 0.\overline{4}$

Paso 4.2.1.3

Sustituye $0.5$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $0.5$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.2.1.3.1

Sustituye $0.5$ en el polinomio.

$72 \cdot {0.5}^{3} - 66 \cdot {0.5}^{2} + 23 \cdot 0.5 - 4$

Paso 4.2.1.3.2

Eleva $0.5$ a la potencia de $3$ .

$72 \cdot 0.125 - 66 \cdot {0.5}^{2} + 23 \cdot 0.5 - 4$

Paso 4.2.1.3.3

Multiplica $72$ por $0.125$ .

$9 - 66 \cdot {0.5}^{2} + 23 \cdot 0.5 - 4$

Paso 4.2.1.3.4

Eleva $0.5$ a la potencia de $2$ .

$9 - 66 \cdot 0.25 + 23 \cdot 0.5 - 4$

Paso 4.2.1.3.5

Multiplica $- 66$ por $0.25$ .

$9 - 16.5 + 23 \cdot 0.5 - 4$

Paso 4.2.1.3.6

Resta $16.5$ de $9$ .

$- 7.5 + 23 \cdot 0.5 - 4$

Paso 4.2.1.3.7

Multiplica $23$ por $0.5$ .

$- 7.5 + 11.5 - 4$

Paso 4.2.1.3.8

Suma $- 7.5$ y $11.5$ .

$4 - 4$

Paso 4.2.1.3.9

Resta $4$ de $4$ .

$0$

Paso 4.2.1.4

Como $0.5$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $2 x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{72 x^{3} - 66 x^{2} + 23 x - 4}{2 x - 1}$

Paso 4.2.1.5

Divide $72 x^{3} - 66 x^{2} + 23 x - 4$ por $2 x - 1$ .

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Paso 4.2.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$2 x$

$1$

$72 x^{3}$

$66 x^{2}$

$23 x$

$4$

Paso 4.2.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $72 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

					$36 x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$

Paso 4.2.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$36 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
			+	$72 x^{3}$	-	$36 x^{2}$

Paso 4.2.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $72 x^{3} - 36 x^{2}$ .

				$36 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
			-	$72 x^{3}$	+	$36 x^{2}$

Paso 4.2.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$36 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
			-	$72 x^{3}$	+	$36 x^{2}$
					-	$30 x^{2}$

Paso 4.2.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$36 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
			-	$72 x^{3}$	+	$36 x^{2}$
					-	$30 x^{2}$	+	$23 x$

Paso 4.2.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 30 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

				$36 x^{2}$	-	$15 x$
$2 x$	-	$1$		$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
			-	$72 x^{3}$	+	$36 x^{2}$
					-	$30 x^{2}$	+	$23 x$

Paso 4.2.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$36 x^{2}$	-	$15 x$
$2 x$	-	$1$		$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
			-	$72 x^{3}$	+	$36 x^{2}$
					-	$30 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$30 x^{2}$	+	$15 x$

Paso 4.2.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 30 x^{2} + 15 x$ .

				$36 x^{2}$	-	$15 x$
$2 x$	-	$1$		$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
			-	$72 x^{3}$	+	$36 x^{2}$
					-	$30 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$30 x^{2}$	-	$15 x$

Paso 4.2.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$36 x^{2}$	-	$15 x$
$2 x$	-	$1$		$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
			-	$72 x^{3}$	+	$36 x^{2}$
					-	$30 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$30 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$8 x$

Paso 4.2.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$36 x^{2}$	-	$15 x$
$2 x$	-	$1$		$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
			-	$72 x^{3}$	+	$36 x^{2}$
					-	$30 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$30 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$8 x$	-	$4$

Paso 4.2.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $8 x$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

				$36 x^{2}$	-	$15 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
			-	$72 x^{3}$	+	$36 x^{2}$
					-	$30 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$30 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$8 x$	-	$4$

Paso 4.2.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$36 x^{2}$	-	$15 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
			-	$72 x^{3}$	+	$36 x^{2}$
					-	$30 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$30 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$8 x$	-	$4$
							+	$8 x$	-	$4$

Paso 4.2.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $8 x - 4$ .

				$36 x^{2}$	-	$15 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
			-	$72 x^{3}$	+	$36 x^{2}$
					-	$30 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$30 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$8 x$	-	$4$
							-	$8 x$	+	$4$

Paso 4.2.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$36 x^{2}$	-	$15 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
			-	$72 x^{3}$	+	$36 x^{2}$
					-	$30 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$30 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$8 x$	-	$4$
							-	$8 x$	+	$4$
										$0$

Paso 4.2.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$36 x^{2} - 15 x + 4$

Paso 4.2.1.6

Escribe $72 x^{3} - 66 x^{2} + 23 x - 4$ como un conjunto de factores.

$(12 x + 1) ((2 x - 1) (36 x^{2} - 15 x + 4)) = 0$

Paso 4.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(12 x + 1) (2 x - 1) (36 x^{2} - 15 x + 4) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$12 x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$36 x^{2} - 15 x + 4 = 0$

Paso 6

Establece $12 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $12 x + 1$ igual a $0$ .

$12 x + 1 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $12 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$12 x = - 1$

Paso 6.2.2

Divide cada término en $12 x = - 1$ por $12$ y simplifica.

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Paso 6.2.2.1

Divide cada término en $12 x = - 1$ por $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 1}{12}$

Paso 6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 1}{12}$

Paso 6.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{12}$

Paso 6.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{12}$

Paso 7

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $2 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 1$

Paso 7.2.2

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 7.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 7.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 7.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 8

Establece $36 x^{2} - 15 x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Establece $36 x^{2} - 15 x + 4$ igual a $0$ .

$36 x^{2} - 15 x + 4 = 0$

Paso 8.2

Resuelve $36 x^{2} - 15 x + 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 8.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 8.2.2

Sustituye los valores $a = 36$ , $b = - 15$ y $c = 4$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (36 \cdot 4)}}{2 \cdot 36}$

Paso 8.2.3

Simplifica.

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Paso 8.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.3.1.1

Eleva $- 15$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 36 \cdot 4}}{2 \cdot 36}$

Paso 8.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 36 \cdot 4$ .

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Paso 8.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $36$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 144 \cdot 4}}{2 \cdot 36}$

Paso 8.2.3.1.2.2

Multiplica $- 144$ por $4$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 576}}{2 \cdot 36}$

Paso 8.2.3.1.3

Resta $576$ de $225$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{- 351}}{2 \cdot 36}$

Paso 8.2.3.1.4

Reescribe $- 351$ como $- 1 (351)$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{- 1 \cdot 351}}{2 \cdot 36}$

Paso 8.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (351)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{351}$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{351}}{2 \cdot 36}$

Paso 8.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{15 \pm i \cdot \sqrt{351}}{2 \cdot 36}$

Paso 8.2.3.1.7

Reescribe $351$ como $3^{2} \cdot 39$ .

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Paso 8.2.3.1.7.1

Factoriza $9$ de $351$ .

$x = \frac{15 \pm i \cdot \sqrt{9 (39)}}{2 \cdot 36}$

Paso 8.2.3.1.7.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{15 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 39}}{2 \cdot 36}$

Paso 8.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{15 \pm i \cdot (3 \sqrt{39})}{2 \cdot 36}$

Paso 8.2.3.1.9

Mueve $3$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{15 \pm 3 i \sqrt{39}}{2 \cdot 36}$

Paso 8.2.3.2

Multiplica $2$ por $36$ .

$x = \frac{15 \pm 3 i \sqrt{39}}{72}$

Paso 8.2.3.3

Simplifica $\frac{15 \pm 3 i \sqrt{39}}{72}$ .

$x = \frac{5 \pm i \sqrt{39}}{24}$

Paso 8.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{5 + i \sqrt{39}}{24}, \frac{5 - i \sqrt{39}}{24}$

Paso 9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(12 x + 1) (2 x - 1) (36 x^{2} - 15 x + 4) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{1}{12}, \frac{1}{2}, \frac{5 + i \sqrt{39}}{24}, \frac{5 - i \sqrt{39}}{24}$