Matemática discreta Ejemplos

$\ln^{2} (x) - \ln (x) - 2 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Sea $u = \ln (x)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $\ln (x)$ .

$u^{2} - u - 2 = 0$

Paso 1.2

Factoriza $u^{2} - u - 2$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 2, 1$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 2) (u + 1) = 0$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\ln (x)$ .

$(\ln (x) - 2) (\ln (x) + 1) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\ln (x) - 2 = 0$

$\ln (x) + 1 = 0$

Paso 3

Establece $\ln (x) - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $\ln (x) - 2$ igual a $0$ .

$\ln (x) - 2 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $\ln (x) - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$\ln (x) = 2$

Paso 3.2.2

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{2}$

Paso 3.2.3

Reescribe $\ln (x) = 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2} = x$

Paso 3.2.4

Reescribe la ecuación como $x = e^{2}$ .

$x = e^{2}$

Paso 4

Establece $\ln (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $\ln (x) + 1$ igual a $0$ .

$\ln (x) + 1 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $\ln (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\ln (x) = - 1$

Paso 4.2.2

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

Paso 4.2.3

Reescribe $\ln (x) = - 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

Paso 4.2.4

Resuelve $x$

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Paso 4.2.4.1

Reescribe la ecuación como $x = e^{- 1}$ .

$x = e^{- 1}$

Paso 4.2.4.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(\ln (x) - 2) (\ln (x) + 1) = 0$ verdadera.

$x = e^{2}, \frac{1}{e}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = e^{2}, \frac{1}{e}$

Forma decimal:

$x = 7.38905609 \dots, 0.36787944 \dots$