Matemática discreta Ejemplos

${(3 x - 4)}^{3}$

Paso 1

El triángulo de Pascal se puede visualizar de la siguiente manera:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

El triángulo puede usarse para calcular los coeficientes de la expansión de ${(a + b)}^{n}$ al tomar el exponente $n$ y sumar $1$ . Los coeficientes se corresponderán con la línea $n + 1$ del triángulo. Para ${(3 x - 4)}^{3}$ , $n = 3$ de modo que los coeficientes de la expansión se corresponderán con la línea $4$ .

Paso 2

La expansión sigue la regla ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Los valores de los coeficientes, desde el triángulo, son $1 - 3 - 3 - 1$ .

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

Paso 3

Sustituye los valores reales de $a$ , $3 x$ y $b$ en la expresión $- 4$ .

$1 {(3 x)}^{3} {(- 4)}^{0} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 4)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Multiplica ${(3 x)}^{3}$ por $1$ .

${(3 x)}^{3} {(- 4)}^{0} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 4)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Paso 4.2

Aplica la regla del producto a $3 x$ .

$3^{3} x^{3} {(- 4)}^{0} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 4)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Paso 4.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 x^{3} {(- 4)}^{0} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 4)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Paso 4.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$27 x^{3} \cdot 1 + 3 {(3 x)}^{2} {(- 4)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Paso 4.5

Multiplica $27$ por $1$ .

$27 x^{3} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 4)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Paso 4.6

Aplica la regla del producto a $3 x$ .

$27 x^{3} + 3 (3^{2} x^{2}) {(- 4)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Paso 4.7

Multiplica $3$ por $3^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.7.1

Mueve $3^{2}$ .

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3 x^{2} {(- 4)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Paso 4.7.2

Multiplica $3^{2}$ por $3$ .

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Paso 4.7.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3^{1} x^{2} {(- 4)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Paso 4.7.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$27 x^{3} + 3^{2 + 1} x^{2} {(- 4)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Paso 4.7.3

Suma $2$ y $1$ .

$27 x^{3} + 3^{3} x^{2} {(- 4)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Paso 4.8

Simplifica $3^{3} x^{2} {(- 4)}^{1}$ .

$27 x^{3} + 3^{3} x^{2} \cdot - 4 + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Paso 4.9

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 x^{3} + 27 x^{2} \cdot - 4 + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Paso 4.10

Multiplica $- 4$ por $27$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Paso 4.11

Simplifica.

$27 x^{3} - 108 x^{2} + 3 (3 x) {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Paso 4.12

Multiplica $3$ por $3$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} + 9 x {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Paso 4.13

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} + 9 x \cdot 16 + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Paso 4.14

Multiplica $16$ por $9$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} + 144 x + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Paso 4.15

Multiplica ${(3 x)}^{0}$ por $1$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} + 144 x + {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Paso 4.16

Aplica la regla del producto a $3 x$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} + 144 x + 3^{0} x^{0} {(- 4)}^{3}$

Paso 4.17

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} + 144 x + 1 x^{0} {(- 4)}^{3}$

Paso 4.18

Multiplica $x^{0}$ por $1$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} + 144 x + x^{0} {(- 4)}^{3}$

Paso 4.19

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} + 144 x + 1 {(- 4)}^{3}$

Paso 4.20

Multiplica ${(- 4)}^{3}$ por $1$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} + 144 x + {(- 4)}^{3}$

Paso 4.21

Eleva $- 4$ a la potencia de $3$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} + 144 x - 64$