Matemática discreta Ejemplos

$\frac{x^{2}}{2} + y^{2} - 6 x + 8 y = - 15$

Paso 1

Suma $15$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{x^{2}}{2} + y^{2} - 6 x + 8 y + 15 = 0$

Paso 2

Multiplica por el mínimo común denominador $2$ , luego simplifica.

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 y^{2} + 2 (- 6 x) + 2 (8 y) + 2 \cdot 15 = 0$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 y^{2} + 2 (- 6 x) + 2 (8 y) + 2 \cdot 15 = 0$

Paso 2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} + 2 y^{2} + 2 (- 6 x) + 2 (8 y) + 2 \cdot 15 = 0$

Paso 2.2.2

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$x^{2} + 2 y^{2} - 12 x + 2 (8 y) + 2 \cdot 15 = 0$

Paso 2.2.3

Multiplica $8$ por $2$ .

$x^{2} + 2 y^{2} - 12 x + 16 y + 2 \cdot 15 = 0$

Paso 2.2.4

Multiplica $2$ por $15$ .

$x^{2} + 2 y^{2} - 12 x + 16 y + 30 = 0$

Paso 3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4

Sustituye los valores $a = 2$ , $b = 16$ y $c = x^{2} - 12 x + 30$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (x^{2} - 12 x + 30))}}{2 \cdot 2}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Eleva $16$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 12 x + 30)}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 8 \cdot (x^{2} - 12 x + 30)}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 8 x^{2} - 8 (- 12 x) - 8 \cdot 30}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.1.4

Simplifica.

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Paso 5.1.4.1

Multiplica $- 12$ por $- 8$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 8 x^{2} + 96 x - 8 \cdot 30}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.1.4.2

Multiplica $- 8$ por $30$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 8 x^{2} + 96 x - 240}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.1.5

Resta $240$ de $256$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 8 x^{2} + 96 x + 16}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.1.6

Factoriza $8$ de $- 8 x^{2} + 96 x + 16$ .

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Paso 5.1.6.1

Factoriza $8$ de $- 8 x^{2}$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{8 (- x^{2}) + 96 x + 16}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.1.6.2

Factoriza $8$ de $96 x$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{8 (- x^{2}) + 8 (12 x) + 16}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.1.6.3

Factoriza $8$ de $16$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{8 (- x^{2}) + 8 (12 x) + 8 (2)}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.1.6.4

Factoriza $8$ de $8 (- x^{2}) + 8 (12 x)$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{8 (- x^{2} + 12 x) + 8 (2)}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.1.6.5

Factoriza $8$ de $8 (- x^{2} + 12 x) + 8 (2)$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{8 (- x^{2} + 12 x + 2)}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.1.7

Reescribe $8 (- x^{2} + 12 x + 2)$ como $2^{2} \cdot (2 (- x^{2} + 12 x + 2))$ .

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Paso 5.1.7.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{4 (2) (- x^{2} + 12 x + 2)}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- x^{2} + 12 x + 2))}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.1.7.3

Agrega paréntesis.

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- x^{2} + 12 x + 2))}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{2 (- x^{2} + 12 x + 2)}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{2 (- x^{2} + 12 x + 2)}}{4}$

Paso 5.3

Simplifica $\frac{- 16 \pm 2 \sqrt{2 (- x^{2} + 12 x + 2)}}{4}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2 (- x^{2} + 12 x + 2)}}{2}$

Paso 6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = - \frac{8 - \sqrt{2 (- x^{2} + 12 x + 2)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 12 x + 2)} + 8}{2}$