Matemática discreta Ejemplos

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{64} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = 1$

Paso 1

Resta $\frac{{(x - 1)}^{2}}{64}$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = 1 - \frac{{(x - 1)}^{2}}{64}$

Paso 2

Simplifica $1 - \frac{{(x - 1)}^{2}}{64}$ .

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Paso 2.1

Combina en una fracción.

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Paso 2.1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{64}{64} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{64}$

Paso 2.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{64 - {(x - 1)}^{2}}{64}$

Paso 2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{8^{2} - {(x - 1)}^{2}}{64}$

Paso 2.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 8$ y $b = x - 1$ .

$- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{(8 + x - 1) (8 - (x - 1))}{64}$

Paso 2.2.3

Simplifica.

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Paso 2.2.3.1

Resta $1$ de $8$ .

$- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{(x + 7) (8 - (x - 1))}{64}$

Paso 2.2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{(x + 7) (8 - x - - 1)}{64}$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{(x + 7) (8 - x + 1)}{64}$

Paso 2.2.3.4

Suma $8$ y $1$ .

$- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{(x + 7) (- x + 9)}{64}$

Paso 2.3

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.3.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{(x + 7) (- (x) + 9)}{64}$

Paso 2.3.2

Reescribe $9$ como $- 1 (- 9)$ .

$- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{(x + 7) (- (x) - 1 (- 9))}{64}$

Paso 2.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 9)$ .

$- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{(x + 7) (- (x - 9))}{64}$

Paso 2.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.4.1

Reescribe $- (x - 9)$ como $- 1 (x - 9)$ .

$- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{(x + 7) (- 1 (x - 9))}{64}$

Paso 2.3.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = - \frac{(x + 7) (x - 9)}{64}$

Paso 3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 36$ .

$- 36 (- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36}) = - 36 (- \frac{(x + 7) (x - 9)}{64})$

Paso 4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1.1

Simplifica $- 36 (- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36})$ .

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Paso 4.1.1.1

Cancela el factor común de $36$ .

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Paso 4.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36}$ al numerador.

$- 36 \frac{- {(y + 3)}^{2}}{36} = - 36 (- \frac{(x + 7) (x - 9)}{64})$

Paso 4.1.1.1.2

Factoriza $36$ de $- 36$ .

$36 (- 1) \frac{- {(y + 3)}^{2}}{36} = - 36 (- \frac{(x + 7) (x - 9)}{64})$

Paso 4.1.1.1.3

Cancela el factor común.

$36 \cdot - 1 \frac{- {(y + 3)}^{2}}{36} = - 36 (- \frac{(x + 7) (x - 9)}{64})$

Paso 4.1.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- - {(y + 3)}^{2} = - 36 (- \frac{(x + 7) (x - 9)}{64})$

Paso 4.1.1.2

Multiplica.

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Paso 4.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 {(y + 3)}^{2} = - 36 (- \frac{(x + 7) (x - 9)}{64})$

Paso 4.1.1.2.2

Multiplica ${(y + 3)}^{2}$ por $1$ .

${(y + 3)}^{2} = - 36 (- \frac{(x + 7) (x - 9)}{64})$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $- 36 (- \frac{(x + 7) (x - 9)}{64})$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{(x + 7) (x - 9)}{64}$ al numerador.

${(y + 3)}^{2} = - 36 \frac{- (x + 7) (x - 9)}{64}$

Paso 4.2.1.1.2

Factoriza $4$ de $- 36$ .

${(y + 3)}^{2} = 4 (- 9) \frac{- (x + 7) (x - 9)}{64}$

Paso 4.2.1.1.3

Factoriza $4$ de $64$ .

${(y + 3)}^{2} = 4 \cdot - 9 \frac{- (x + 7) (x - 9)}{4 \cdot 16}$

Paso 4.2.1.1.4

Cancela el factor común.

${(y + 3)}^{2} = 4 \cdot - 9 \frac{- (x + 7) (x - 9)}{4 \cdot 16}$

Paso 4.2.1.1.5

Reescribe la expresión.

${(y + 3)}^{2} = - 9 \frac{- (x + 7) (x - 9)}{16}$

Paso 4.2.1.2

Combina $- 9$ y $\frac{- (x + 7) (x - 9)}{16}$ .

${(y + 3)}^{2} = \frac{- 9 (- (x + 7) (x - 9))}{16}$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 9$ .

${(y + 3)}^{2} = \frac{9 (x + 7) (x - 9)}{16}$

Paso 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y + 3 = \pm \sqrt{\frac{9 (x + 7) (x - 9)}{16}}$

Paso 6

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{9 (x + 7) (x - 9)}{16}}$ .

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Paso 6.1

Reescribe $\frac{9 (x + 7) (x - 9)}{16}$ como ${(\frac{3}{4})}^{2} ((x + 7) (x - 9))$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza la potencia perfecta $3^{2}$ de $9 (x + 7) (x - 9)$ .

$y + 3 = \pm \sqrt{\frac{3^{2} ((x + 7) (x - 9))}{16}}$

Paso 6.1.2

Factoriza la potencia perfecta $4^{2}$ de $16$ .

$y + 3 = \pm \sqrt{\frac{3^{2} ((x + 7) (x - 9))}{4^{2} \cdot 1}}$

Paso 6.1.3

Reorganiza la fracción $\frac{3^{2} ((x + 7) (x - 9))}{4^{2} \cdot 1}$ .

$y + 3 = \pm \sqrt{{(\frac{3}{4})}^{2} ((x + 7) (x - 9))}$

Paso 6.2

Retira los términos de abajo del radical.

$y + 3 = \pm \frac{3}{4} \sqrt{(x + 7) (x - 9)}$

Paso 6.3

Combina $\frac{3}{4}$ y $\sqrt{(x + 7) (x - 9)}$ .

$y + 3 = \pm \frac{3 \sqrt{(x + 7) (x - 9)}}{4}$

Paso 7

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 7.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y + 3 = \frac{3 \sqrt{(x + 7) (x - 9)}}{4}$

Paso 7.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{3 \sqrt{(x + 7) (x - 9)}}{4} - 3$

Paso 7.3

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y + 3 = - \frac{3 \sqrt{(x + 7) (x - 9)}}{4}$

Paso 7.4

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{3 \sqrt{(x + 7) (x - 9)}}{4} - 3$

Paso 7.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{3 \sqrt{(x + 7) (x - 9)}}{4} - 3$

$y = - \frac{3 \sqrt{(x + 7) (x - 9)}}{4} - 3$

$y = \frac{3 \sqrt{(x + 7) (x - 9)}}{4} - 3$

$y = - \frac{3 \sqrt{(x + 7) (x - 9)}}{4} - 3$