Matemática discreta Ejemplos

$2 x^{\frac{11}{5}} - 19 x^{\frac{6}{5}} + 24 x^{\frac{1}{5}} = 0$

Paso 1

Obtén un factor común $x^{\frac{1}{5}}$ que esté presente en cada término.

$2 {(x^{\frac{1}{5}})}^{11} - 19 {(x^{\frac{1}{5}})}^{6} + 24 x^{\frac{1}{5}}$

Paso 2

Sustituye $u$ por $x^{\frac{1}{5}}$ .

$2 {(u)}^{11} - 19 {(u)}^{6} + 24 (u) = 0$

Paso 3

Resuelve $u$

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Paso 3.1

Multiplica $24$ por $u$ .

$2 u^{11} - 19 u^{6} + 24 u = 0$

Paso 3.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Factoriza $u$ de $2 u^{11} - 19 u^{6} + 24 u$ .

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Paso 3.2.1.1

Factoriza $u$ de $2 u^{11}$ .

$u (2 u^{10}) - 19 u^{6} + 24 u = 0$

Paso 3.2.1.2

Factoriza $u$ de $- 19 u^{6}$ .

$u (2 u^{10}) + u (- 19 u^{5}) + 24 u = 0$

Paso 3.2.1.3

Factoriza $u$ de $24 u$ .

$u (2 u^{10}) + u (- 19 u^{5}) + u \cdot 24 = 0$

Paso 3.2.1.4

Factoriza $u$ de $u (2 u^{10}) + u (- 19 u^{5})$ .

$u (2 u^{10} - 19 u^{5}) + u \cdot 24 = 0$

Paso 3.2.1.5

Factoriza $u$ de $u (2 u^{10} - 19 u^{5}) + u \cdot 24$ .

$u (2 u^{10} - 19 u^{5} + 24) = 0$

Paso 3.2.2

Reescribe $u^{10}$ como ${(u^{5})}^{2}$ .

$u (2 {(u^{5})}^{2} - 19 u^{5} + 24) = 0$

Paso 3.2.3

Sea $u = u^{5}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $u^{5}$ .

$u (2 u^{2} - 19 u + 24) = 0$

Paso 3.2.4

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.2.4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 24 = 48$ y cuya suma es $b = - 19$ .

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Paso 3.2.4.1.1

Factoriza $- 19$ de $- 19 u$ .

$u (2 u^{2} - 19 u + 24) = 0$

Paso 3.2.4.1.2

Reescribe $- 19$ como $- 3$ más $- 16$

$u (2 u^{2} + (- 3 - 16) u + 24) = 0$

Paso 3.2.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$u (2 u^{2} - 3 u - 16 u + 24) = 0$

Paso 3.2.4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$u ((2 u^{2} - 3 u) - 16 u + 24) = 0$

Paso 3.2.4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (u (2 u - 3) - 8 (2 u - 3)) = 0$

Paso 3.2.4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u - 3$ .

$u ((2 u - 3) (u - 8)) = 0$

Paso 3.2.5

Factoriza.

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Paso 3.2.5.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $u^{5}$ .

$u ((2 u^{5} - 3) (u^{5} - 8)) = 0$

Paso 3.2.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$u (2 u^{5} - 3) (u^{5} - 8) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u = 0$

$2 u^{5} - 3 = 0$

$u^{5} - 8 = 0$

Paso 3.4

Establece $u$ igual a $0$ .

$u = 0$

Paso 3.5

Establece $2 u^{5} - 3$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 3.5.1

Establece $2 u^{5} - 3$ igual a $0$ .

$2 u^{5} - 3 = 0$

Paso 3.5.2

Resuelve $2 u^{5} - 3 = 0$ en $u$ .

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Paso 3.5.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$2 u^{5} = 3$

Paso 3.5.2.2

Divide cada término en $2 u^{5} = 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.2.1

Divide cada término en $2 u^{5} = 3$ por $2$ .

$\frac{2 u^{5}}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 3.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 u^{5}}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 3.5.2.2.2.1.2

Divide $u^{5}$ por $1$ .

$u^{5} = \frac{3}{2}$

Paso 3.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \sqrt[5]{\frac{3}{2}}$

Paso 3.5.2.4

Simplifica $\sqrt[5]{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 3.5.2.4.1

Reescribe $\sqrt[5]{\frac{3}{2}}$ como $\frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{2}}$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{2}}$

Paso 3.5.2.4.2

Multiplica $\frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{4}}$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{4}}$

Paso 3.5.2.4.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.5.2.4.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{4}}$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{\sqrt[5]{2} {\sqrt[5]{2}}^{4}}$

Paso 3.5.2.4.3.2

Eleva $\sqrt[5]{2}$ a la potencia de $1$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{1} {\sqrt[5]{2}}^{4}}$

Paso 3.5.2.4.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{1 + 4}}$

Paso 3.5.2.4.3.4

Suma $1$ y $4$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{5}}$

Paso 3.5.2.4.3.5

Reescribe ${\sqrt[5]{2}}^{5}$ como $2$ .

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Paso 3.5.2.4.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{2}$ como $2^{\frac{1}{5}}$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{{(2^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Paso 3.5.2.4.3.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Paso 3.5.2.4.3.5.3

Combina $\frac{1}{5}$ y $5$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2^{\frac{5}{5}}}$

Paso 3.5.2.4.3.5.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.5.2.4.3.5.4.1

Cancela el factor común.

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2^{\frac{5}{5}}}$

Paso 3.5.2.4.3.5.4.2

Reescribe la expresión.

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2^{1}}$

Paso 3.5.2.4.3.5.5

Evalúa el exponente.

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2}$

Paso 3.5.2.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.2.4.4.1

Reescribe ${\sqrt[5]{2}}^{4}$ como $\sqrt[5]{2^{4}}$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3} \sqrt[5]{2^{4}}}{2}$

Paso 3.5.2.4.4.2

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3} \sqrt[5]{16}}{2}$

Paso 3.5.2.4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.2.4.5.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$u = \frac{\sqrt[5]{3 \cdot 16}}{2}$

Paso 3.5.2.4.5.2

Multiplica $3$ por $16$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{48}}{2}$

Paso 3.6

Establece $u^{5} - 8$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 3.6.1

Establece $u^{5} - 8$ igual a $0$ .

$u^{5} - 8 = 0$

Paso 3.6.2

Resuelve $u^{5} - 8 = 0$ en $u$ .

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Paso 3.6.2.1

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$u^{5} = 8$

Paso 3.6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \sqrt[5]{8}$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $u (2 u^{5} - 3) (u^{5} - 8) = 0$ verdadera.

$u = 0, \frac{\sqrt[5]{48}}{2}, \sqrt[5]{8}$

Paso 4

Sustituye $x$ por $u$ .

$x^{\frac{1}{5}} = 0, \frac{\sqrt[5]{48}}{2}, \sqrt[5]{8}$

Paso 5

Resuelve para $x^{\frac{1}{5}} = 0$ en $x$ .

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Paso 5.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $5$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Paso 5.2

Simplifica el exponente.

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Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Paso 5.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Paso 5.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Paso 5.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 0^{5}$

Paso 5.2.1.1.2

Simplifica.

$x = 0^{5}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x = 0$

Paso 6

Resuelve para $x^{\frac{1}{5}} = \frac{\sqrt[5]{48}}{2}$ en $x$ .

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Paso 6.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $5$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(\frac{\sqrt[5]{48}}{2})}^{5}$

Paso 6.2

Simplifica el exponente.

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Paso 6.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Paso 6.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Paso 6.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(\frac{\sqrt[5]{48}}{2})}^{5}$

Paso 6.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 6.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(\frac{\sqrt[5]{48}}{2})}^{5}$

Paso 6.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = {(\frac{\sqrt[5]{48}}{2})}^{5}$

Paso 6.2.1.1.2

Simplifica.

$x = {(\frac{\sqrt[5]{48}}{2})}^{5}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica ${(\frac{\sqrt[5]{48}}{2})}^{5}$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[5]{48}}{2}$ .

$x = \frac{{\sqrt[5]{48}}^{5}}{2^{5}}$

Paso 6.2.2.1.2

Reescribe ${\sqrt[5]{48}}^{5}$ como $48$ .

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Paso 6.2.2.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{48}$ como $48^{\frac{1}{5}}$ .

$x = \frac{{(48^{\frac{1}{5}})}^{5}}{2^{5}}$

Paso 6.2.2.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{48^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{2^{5}}$

Paso 6.2.2.1.2.3

Combina $\frac{1}{5}$ y $5$ .

$x = \frac{48^{\frac{5}{5}}}{2^{5}}$

Paso 6.2.2.1.2.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 6.2.2.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{48^{\frac{5}{5}}}{2^{5}}$

Paso 6.2.2.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \frac{48^{1}}{2^{5}}$

Paso 6.2.2.1.2.5

Evalúa el exponente.

$x = \frac{48}{2^{5}}$

Paso 6.2.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$x = \frac{48}{32}$

Paso 6.2.2.1.4

Cancela el factor común de $48$ y $32$ .

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Paso 6.2.2.1.4.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$x = \frac{16 (3)}{32}$

Paso 6.2.2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.1.4.2.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$x = \frac{16 \cdot 3}{16 \cdot 2}$

Paso 6.2.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{16 \cdot 3}{16 \cdot 2}$

Paso 6.2.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{3}{2}$

Paso 7

Resuelve para $x^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{8}$ en $x$ .

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Paso 7.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $5$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = {\sqrt[5]{8}}^{5}$

Paso 7.2

Simplifica el exponente.

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Paso 7.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Paso 7.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Paso 7.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {\sqrt[5]{8}}^{5}$

Paso 7.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 7.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {\sqrt[5]{8}}^{5}$

Paso 7.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = {\sqrt[5]{8}}^{5}$

Paso 7.2.1.1.2

Simplifica.

$x = {\sqrt[5]{8}}^{5}$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.2.1

Reescribe ${\sqrt[5]{8}}^{5}$ como $8$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{8}$ como $8^{\frac{1}{5}}$ .

$x = {(8^{\frac{1}{5}})}^{5}$

Paso 7.2.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 8^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Paso 7.2.2.1.3

Combina $\frac{1}{5}$ y $5$ .

$x = 8^{\frac{5}{5}}$

Paso 7.2.2.1.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 7.2.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$x = 8^{\frac{5}{5}}$

Paso 7.2.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$x = 8^{1}$

Paso 7.2.2.1.5

Evalúa el exponente.

$x = 8$

Paso 8

Enumera todas las soluciones.

$x = 0, \frac{3}{2}, 8$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = 0, \frac{3}{2}, 8$

Forma decimal:

$x = 0, 1.5, 8$

Forma de número mixto:

$x = 0, 1 \frac{1}{2}, 8$