Matemática discreta Ejemplos

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} + \sqrt{36} - 4 x = 3^{2} (\frac{1}{6})$

Paso 1

Resuelve $\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}}$

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} + \sqrt{6^{2}} - 4 x = 3^{2} (\frac{1}{6})$

Paso 1.1.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} + 6 - 4 x = 3^{2} (\frac{1}{6})$

Paso 1.2

Simplifica $3^{2} (\frac{1}{6})$ .

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Paso 1.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} + 6 - 4 x = 9 (\frac{1}{6})$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} + 6 - 4 x = 3 (3) \frac{1}{6}$

Paso 1.2.2.2

Factoriza $3$ de $6$ .

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} + 6 - 4 x = 3 \cdot 3 \frac{1}{3 \cdot 2}$

Paso 1.2.2.3

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} + 6 - 4 x = 3 \cdot 3 \frac{1}{3 \cdot 2}$

Paso 1.2.2.4

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} + 6 - 4 x = 3 (\frac{1}{2})$

Paso 1.2.3

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} + 6 - 4 x = \frac{3}{2}$

Paso 1.3

Mueve todos los términos que no contengan $\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.1

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} - 4 x = \frac{3}{2} - 6$

Paso 1.3.2

Suma $4 x$ a ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = \frac{3}{2} - 6 + 4 x$

Paso 1.3.3

Para escribir $- 6$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = \frac{3}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2} + 4 x$

Paso 1.3.4

Combina $- 6$ y $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = \frac{3}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2} + 4 x$

Paso 1.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = \frac{3 - 6 \cdot 2}{2} + 4 x$

Paso 1.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.6.1

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = \frac{3 - 12}{2} + 4 x$

Paso 1.3.6.2

Resta $12$ de $3$ .

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = \frac{- 9}{2} + 4 x$

Paso 1.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = - \frac{9}{2} + 4 x$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}}}^{2} = {(- \frac{9}{2} + 4 x)}^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}}$ como ${(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{9}{2} + 4 x)}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${({(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{9}{2} + 4 x)}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{9}{2} + 4 x)}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{1} = {(- \frac{9}{2} + 4 x)}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Suma $- 8$ y $4$ .

${(\frac{x - 4}{2})}^{1} = {(- \frac{9}{2} + 4 x)}^{2}$

Paso 3.2.1.3

Simplifica.

$\frac{x - 4}{2} = {(- \frac{9}{2} + 4 x)}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${(- \frac{9}{2} + 4 x)}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe ${(- \frac{9}{2} + 4 x)}^{2}$ como $(- \frac{9}{2} + 4 x) (- \frac{9}{2} + 4 x)$ .

$\frac{x - 4}{2} = (- \frac{9}{2} + 4 x) (- \frac{9}{2} + 4 x)$

Paso 3.3.1.2

Expande $(- \frac{9}{2} + 4 x) (- \frac{9}{2} + 4 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x - 4}{2} = - \frac{9}{2} (- \frac{9}{2} + 4 x) + 4 x (- \frac{9}{2} + 4 x)$

Paso 3.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x - 4}{2} = - \frac{9}{2} (- \frac{9}{2}) - \frac{9}{2} (4 x) + 4 x (- \frac{9}{2} + 4 x)$

Paso 3.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x - 4}{2} = - \frac{9}{2} (- \frac{9}{2}) - \frac{9}{2} (4 x) + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

Paso 3.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.3.1.1

Multiplica $- \frac{9}{2} (- \frac{9}{2})$ .

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Paso 3.3.1.3.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x - 4}{2} = 1 (\frac{9}{2}) \frac{9}{2} - \frac{9}{2} (4 x) + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

Paso 3.3.1.3.1.1.2

Multiplica $\frac{9}{2}$ por $1$ .

$\frac{x - 4}{2} = \frac{9}{2} \cdot \frac{9}{2} - \frac{9}{2} (4 x) + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

Paso 3.3.1.3.1.1.3

Multiplica $\frac{9}{2}$ por $\frac{9}{2}$ .

$\frac{x - 4}{2} = \frac{9 \cdot 9}{2 \cdot 2} - \frac{9}{2} (4 x) + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

Paso 3.3.1.3.1.1.4

Multiplica $9$ por $9$ .

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{2 \cdot 2} - \frac{9}{2} (4 x) + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

Paso 3.3.1.3.1.1.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - \frac{9}{2} (4 x) + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

Paso 3.3.1.3.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.3.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{9}{2}$ al numerador.

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} + \frac{- 9}{2} (4 x) + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

Paso 3.3.1.3.1.2.2

Factoriza $2$ de $4 x$ .

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} + \frac{- 9}{2} (2 (2 x)) + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

Paso 3.3.1.3.1.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} + \frac{- 9}{2} (2 (2 x)) + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

Paso 3.3.1.3.1.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 9 (2 x) + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

Paso 3.3.1.3.1.3

Multiplica $2$ por $- 9$ .

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 18 x + 4 x (- \frac{9}{2}) + 4 x (4 x)$

Paso 3.3.1.3.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.3.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{9}{2}$ al numerador.

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 18 x + 4 x \frac{- 9}{2} + 4 x (4 x)$

Paso 3.3.1.3.1.4.2

Factoriza $2$ de $4 x$ .

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 18 x + 2 (2 x) \frac{- 9}{2} + 4 x (4 x)$

Paso 3.3.1.3.1.4.3

Cancela el factor común.

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 18 x + 2 (2 x) \frac{- 9}{2} + 4 x (4 x)$

Paso 3.3.1.3.1.4.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 18 x + 2 x \cdot - 9 + 4 x (4 x)$

Paso 3.3.1.3.1.5

Multiplica $- 9$ por $2$ .

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 18 x - 18 x + 4 x (4 x)$

Paso 3.3.1.3.1.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 18 x - 18 x + 4 \cdot 4 x \cdot x$

Paso 3.3.1.3.1.7

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.3.1.7.1

Mueve $x$ .

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 18 x - 18 x + 4 \cdot 4 (x \cdot x)$

Paso 3.3.1.3.1.7.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 18 x - 18 x + 4 \cdot 4 x^{2}$

Paso 3.3.1.3.1.8

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 18 x - 18 x + 16 x^{2}$

Paso 3.3.1.3.2

Resta $18 x$ de $- 18 x$ .

$\frac{x - 4}{2} = \frac{81}{4} - 36 x + 16 x^{2}$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Multiplica ambos lados por $2$ .

$\frac{x - 4}{2} \cdot 2 = (\frac{81}{4} - 36 x + 16 x^{2}) \cdot 2$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x - 4}{2} \cdot 2 = (\frac{81}{4} - 36 x + 16 x^{2}) \cdot 2$

Paso 4.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x - 4 = (\frac{81}{4} - 36 x + 16 x^{2}) \cdot 2$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica $(\frac{81}{4} - 36 x + 16 x^{2}) \cdot 2$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x - 4 = \frac{81}{4} \cdot 2 - 36 x \cdot 2 + 16 x^{2} \cdot 2$

Paso 4.2.2.1.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.1.2.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x - 4 = \frac{81}{2 (2)} \cdot 2 - 36 x \cdot 2 + 16 x^{2} \cdot 2$

Paso 4.2.2.1.2.1.2

Cancela el factor común.

$x - 4 = \frac{81}{2 \cdot 2} \cdot 2 - 36 x \cdot 2 + 16 x^{2} \cdot 2$

Paso 4.2.2.1.2.1.3

Reescribe la expresión.

$x - 4 = \frac{81}{2} - 36 x \cdot 2 + 16 x^{2} \cdot 2$

Paso 4.2.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 36$ .

$x - 4 = \frac{81}{2} - 72 x + 16 x^{2} \cdot 2$

Paso 4.2.2.1.2.3

Multiplica $2$ por $16$ .

$x - 4 = \frac{81}{2} - 72 x + 32 x^{2}$

Paso 4.2.2.1.3

Mueve $\frac{81}{2}$ .

$x - 4 = - 72 x + 32 x^{2} + \frac{81}{2}$

Paso 4.2.2.1.4

Reordena $- 72 x$ y $32 x^{2}$ .

$x - 4 = 32 x^{2} - 72 x + \frac{81}{2}$

Paso 4.3

Resuelve $x$

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Paso 4.3.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$32 x^{2} - 72 x + \frac{81}{2} = x - 4$

Paso 4.3.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.3.2.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$32 x^{2} - 72 x + \frac{81}{2} - x = - 4$

Paso 4.3.2.2

Resta $x$ de $- 72 x$ .

$32 x^{2} - 73 x + \frac{81}{2} = - 4$

Paso 4.3.3

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 4.3.3.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$32 x^{2} - 73 x + \frac{81}{2} + 4 = 0$

Paso 4.3.3.2

Simplifica $32 x^{2} - 73 x + \frac{81}{2} + 4$ .

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Paso 4.3.3.2.1

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$32 x^{2} - 73 x + \frac{81}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2} = 0$

Paso 4.3.3.2.2

Combina $4$ y $\frac{2}{2}$ .

$32 x^{2} - 73 x + \frac{81}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2} = 0$

Paso 4.3.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$32 x^{2} - 73 x + \frac{81 + 4 \cdot 2}{2} = 0$

Paso 4.3.3.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.3.2.4.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$32 x^{2} - 73 x + \frac{81 + 8}{2} = 0$

Paso 4.3.3.2.4.2

Suma $81$ y $8$ .

$32 x^{2} - 73 x + \frac{89}{2} = 0$

Paso 4.3.4

Multiplica por el mínimo común denominador $2$ , luego simplifica.

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Paso 4.3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (32 x^{2}) + 2 (- 73 x) + 2 (\frac{89}{2}) = 0$

Paso 4.3.4.2

Simplifica.

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Paso 4.3.4.2.1

Multiplica $32$ por $2$ .

$64 x^{2} + 2 (- 73 x) + 2 (\frac{89}{2}) = 0$

Paso 4.3.4.2.2

Multiplica $- 73$ por $2$ .

$64 x^{2} - 146 x + 2 (\frac{89}{2}) = 0$

Paso 4.3.4.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.4.2.3.1

Cancela el factor común.

$64 x^{2} - 146 x + 2 (\frac{89}{2}) = 0$

Paso 4.3.4.2.3.2

Reescribe la expresión.

$64 x^{2} - 146 x + 89 = 0$

Paso 4.3.5

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.3.6

Sustituye los valores $a = 64$ , $b = - 146$ y $c = 89$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{146 \pm \sqrt{{(- 146)}^{2} - 4 \cdot (64 \cdot 89)}}{2 \cdot 64}$

Paso 4.3.7

Simplifica.

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Paso 4.3.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.7.1.1

Eleva $- 146$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{146 \pm \sqrt{21316 - 4 \cdot 64 \cdot 89}}{2 \cdot 64}$

Paso 4.3.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 64 \cdot 89$ .

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Paso 4.3.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $64$ .

$x = \frac{146 \pm \sqrt{21316 - 256 \cdot 89}}{2 \cdot 64}$

Paso 4.3.7.1.2.2

Multiplica $- 256$ por $89$ .

$x = \frac{146 \pm \sqrt{21316 - 22784}}{2 \cdot 64}$

Paso 4.3.7.1.3

Resta $22784$ de $21316$ .

$x = \frac{146 \pm \sqrt{- 1468}}{2 \cdot 64}$

Paso 4.3.7.1.4

Reescribe $- 1468$ como $- 1 (1468)$ .

$x = \frac{146 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1468}}{2 \cdot 64}$

Paso 4.3.7.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (1468)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1468}$ .

$x = \frac{146 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1468}}{2 \cdot 64}$

Paso 4.3.7.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{146 \pm i \cdot \sqrt{1468}}{2 \cdot 64}$

Paso 4.3.7.1.7

Reescribe $1468$ como $2^{2} \cdot 367$ .

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Paso 4.3.7.1.7.1

Factoriza $4$ de $1468$ .

$x = \frac{146 \pm i \cdot \sqrt{4 (367)}}{2 \cdot 64}$

Paso 4.3.7.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{146 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 367}}{2 \cdot 64}$

Paso 4.3.7.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{146 \pm i \cdot (2 \sqrt{367})}{2 \cdot 64}$

Paso 4.3.7.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{146 \pm 2 i \sqrt{367}}{2 \cdot 64}$

Paso 4.3.7.2

Multiplica $2$ por $64$ .

$x = \frac{146 \pm 2 i \sqrt{367}}{128}$

Paso 4.3.7.3

Simplifica $\frac{146 \pm 2 i \sqrt{367}}{128}$ .

$x = \frac{73 \pm i \sqrt{367}}{64}$

Paso 4.3.8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{73 + i \sqrt{367}}{64}, \frac{73 - i \sqrt{367}}{64}$