Matemática discreta Ejemplos

$8 \cdot 2^{x} = 81 \cdot 3^{x - 1}$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (8 \cdot 2^{x}) = \ln (81 \cdot 3^{x - 1})$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Reescribe $\ln (8 \cdot 2^{x})$ como $\ln (8) + \ln (2^{x})$ .

$\ln (8) + \ln (2^{x}) = \ln (81 \cdot 3^{x - 1})$

Paso 2.2

Expande $\ln (2^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$\ln (8) + x \ln (2) = \ln (81 \cdot 3^{x - 1})$

Paso 3

Expande el lado derecho.

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Paso 3.1

Reescribe $\ln (81 \cdot 3^{x - 1})$ como $\ln (81) + \ln (3^{x - 1})$ .

$\ln (8) + x \ln (2) = \ln (81) + \ln (3^{x - 1})$

Paso 3.2

Expande $\ln (3^{x - 1})$ ; para ello, mueve $x - 1$ fuera del logaritmo.

$\ln (8) + x \ln (2) = \ln (81) + (x - 1) \ln (3)$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

Simplifica $\ln (81) + (x - 1) \ln (3)$ .

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Paso 4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (8) + x \ln (2) = \ln (81) + x \ln (3) - 1 \ln (3)$

Paso 4.1.1.2

Reescribe $- 1 \ln (3)$ como $- \ln (3)$ .

$\ln (8) + x \ln (2) = \ln (81) + x \ln (3) - \ln (3)$

Paso 4.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (8) + x \ln (2) = x \ln (3) + \ln (\frac{81}{3})$

Paso 4.1.3

Divide $81$ por $3$ .

$\ln (8) + x \ln (2) = x \ln (3) + \ln (27)$

Paso 5

Reordena $\ln (8)$ y $x \ln (2)$ .

$x \ln (2) + \ln (8) = x \ln (3) + \ln (27)$

Paso 6

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$x \ln (2) + \ln (8) - x \ln (3) - \ln (27) = 0$

Paso 7

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (2) - x \ln (3) + \ln (\frac{8}{27}) = 0$

Paso 8

Resta $\ln (\frac{8}{27})$ de ambos lados de la ecuación.

$x \ln (2) - x \ln (3) = - \ln (\frac{8}{27})$

Paso 9

Factoriza $x$ de $x \ln (2) - x \ln (3)$ .

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Paso 9.1

Factoriza $x$ de $x \ln (2)$ .

$x (\ln (2)) - x \ln (3) = - \ln (\frac{8}{27})$

Paso 9.2

Factoriza $x$ de $- x \ln (3)$ .

$x (\ln (2)) + x (- 1 \ln (3)) = - \ln (\frac{8}{27})$

Paso 9.3

Factoriza $x$ de $x (\ln (2)) + x (- 1 \ln (3))$ .

$x (\ln (2) - 1 \ln (3)) = - \ln (\frac{8}{27})$

Paso 10

Reescribe $- 1 \ln (3)$ como $- \ln (3)$ .

$x (\ln (2) - \ln (3)) = - \ln (\frac{8}{27})$

Paso 11

Divide cada término en $x (\ln (2) - \ln (3)) = - \ln (\frac{8}{27})$ por $\ln (2) - \ln (3)$ y simplifica.

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Paso 11.1

Divide cada término en $x (\ln (2) - \ln (3)) = - \ln (\frac{8}{27})$ por $\ln (2) - \ln (3)$ .

$\frac{x (\ln (2) - \ln (3))}{\ln (2) - \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{8}{27})}{\ln (2) - \ln (3)}$

Paso 11.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 11.2.1

Cancela el factor común de $\ln (2) - \ln (3)$ .

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Paso 11.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (\ln (2) - \ln (3))}{\ln (2) - \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{8}{27})}{\ln (2) - \ln (3)}$

Paso 11.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{8}{27})}{\ln (2) - \ln (3)}$

Paso 11.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 11.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{\ln (\frac{8}{27})}{\ln (2) - \ln (3)}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{\ln (\frac{8}{27})}{\ln (2) - \ln (3)}$

Forma decimal:

$x = - 3$