Matemática discreta Ejemplos

$(2 x - 5) (x - 2) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Paso 1

Simplifica $(2 x - 5) (x - 2) (x + 4) (2 x + 7)$ .

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Paso 1.1

Expande $(2 x - 5) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 x (x - 2) - 5 (x - 2)) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Paso 1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 5 (x - 2)) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Paso 1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 5 x - 5 \cdot - 2) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Paso 1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.1.1.1

Mueve $x$ .

$(2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 5 x - 5 \cdot - 2) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Paso 1.2.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$(2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 5 x - 5 \cdot - 2) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Paso 1.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$(2 x^{2} - 4 x - 5 x - 5 \cdot - 2) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Paso 1.2.1.3

Multiplica $- 5$ por $- 2$ .

$(2 x^{2} - 4 x - 5 x + 10) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Paso 1.2.2

Resta $5 x$ de $- 4 x$ .

$(2 x^{2} - 9 x + 10) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Paso 1.3

Expande $(2 x^{2} - 9 x + 10) (x + 4)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$(2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot 4 - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Paso 1.4

Simplifica los términos.

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Paso 1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.1.1.1

Mueve $x$ .

$(2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 4 - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Paso 1.4.1.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.4.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 4 - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Paso 1.4.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot 4 - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Paso 1.4.1.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$(2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot 4 - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Paso 1.4.1.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$(2 x^{3} + 8 x^{2} - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Paso 1.4.1.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.1.3.1

Mueve $x$ .

$(2 x^{3} + 8 x^{2} - 9 (x \cdot x) - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Paso 1.4.1.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$(2 x^{3} + 8 x^{2} - 9 x^{2} - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Paso 1.4.1.4

Multiplica $4$ por $- 9$ .

$(2 x^{3} + 8 x^{2} - 9 x^{2} - 36 x + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Paso 1.4.1.5

Multiplica $10$ por $4$ .

$(2 x^{3} + 8 x^{2} - 9 x^{2} - 36 x + 10 x + 40) (2 x + 7) = 91$

Paso 1.4.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 1.4.2.1

Resta $9 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$(2 x^{3} - x^{2} - 36 x + 10 x + 40) (2 x + 7) = 91$

Paso 1.4.2.2

Suma $- 36 x$ y $10 x$ .

$(2 x^{3} - x^{2} - 26 x + 40) (2 x + 7) = 91$

Paso 1.5

Expande $(2 x^{3} - x^{2} - 26 x + 40) (2 x + 7)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$2 x^{3} (2 x) + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Paso 1.6

Simplifica los términos.

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Paso 1.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \cdot 2 x^{3} x + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Paso 1.6.1.2

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.6.1.2.1

Mueve $x$ .

$2 \cdot 2 (x \cdot x^{3}) + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Paso 1.6.1.2.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 1.6.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 \cdot 2 (x^{1} x^{3}) + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Paso 1.6.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \cdot 2 x^{1 + 3} + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Paso 1.6.1.2.3

Suma $1$ y $3$ .

$2 \cdot 2 x^{4} + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Paso 1.6.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x^{4} + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Paso 1.6.1.4

Multiplica $7$ por $2$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Paso 1.6.1.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Paso 1.6.1.6

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.6.1.6.1

Mueve $x$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Paso 1.6.1.6.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.6.1.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Paso 1.6.1.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Paso 1.6.1.6.3

Suma $1$ y $2$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Paso 1.6.1.7

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Paso 1.6.1.8

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Paso 1.6.1.9

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 26 \cdot 2 x \cdot x - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Paso 1.6.1.10

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.6.1.10.1

Mueve $x$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 26 \cdot 2 (x \cdot x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Paso 1.6.1.10.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 26 \cdot 2 x^{2} - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Paso 1.6.1.11

Multiplica $- 26$ por $2$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 52 x^{2} - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Paso 1.6.1.12

Multiplica $7$ por $- 26$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 52 x^{2} - 182 x + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Paso 1.6.1.13

Multiplica $2$ por $40$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 52 x^{2} - 182 x + 80 x + 40 \cdot 7 = 91$

Paso 1.6.1.14

Multiplica $40$ por $7$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 52 x^{2} - 182 x + 80 x + 280 = 91$

Paso 1.6.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 1.6.2.1

Resta $2 x^{3}$ de $14 x^{3}$ .

$4 x^{4} + 12 x^{3} - 7 x^{2} - 52 x^{2} - 182 x + 80 x + 280 = 91$

Paso 1.6.2.2

Resta $52 x^{2}$ de $- 7 x^{2}$ .

$4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 182 x + 80 x + 280 = 91$

Paso 1.6.2.3

Suma $- 182 x$ y $80 x$ .

$4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 280 = 91$

Paso 2

Resta $91$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 280 - 91 = 0$

Paso 3

Resta $91$ de $280$ .

$4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 189 = 0$

Paso 4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1

Factoriza $4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 189$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 4.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 189, \pm 3, \pm 63, \pm 7, \pm 27, \pm 9, \pm 21$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Paso 4.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 189, \pm 47.25, \pm 94.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5, \pm 63, \pm 15.75, \pm 31.5, \pm 7, \pm 1.75, \pm 3.5, \pm 27, \pm 6.75, \pm 13.5, \pm 9, \pm 2.25, \pm 4.5, \pm 21, \pm 5.25, \pm 10.5$

Paso 4.1.3

Sustituye $3$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $3$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1.3.1

Sustituye $3$ en el polinomio.

$4 \cdot 3^{4} + 12 \cdot 3^{3} - 59 \cdot 3^{2} - 102 \cdot 3 + 189$

Paso 4.1.3.2

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$4 \cdot 81 + 12 \cdot 3^{3} - 59 \cdot 3^{2} - 102 \cdot 3 + 189$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $4$ por $81$ .

$324 + 12 \cdot 3^{3} - 59 \cdot 3^{2} - 102 \cdot 3 + 189$

Paso 4.1.3.4

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$324 + 12 \cdot 27 - 59 \cdot 3^{2} - 102 \cdot 3 + 189$

Paso 4.1.3.5

Multiplica $12$ por $27$ .

$324 + 324 - 59 \cdot 3^{2} - 102 \cdot 3 + 189$

Paso 4.1.3.6

Suma $324$ y $324$ .

$648 - 59 \cdot 3^{2} - 102 \cdot 3 + 189$

Paso 4.1.3.7

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$648 - 59 \cdot 9 - 102 \cdot 3 + 189$

Paso 4.1.3.8

Multiplica $- 59$ por $9$ .

$648 - 531 - 102 \cdot 3 + 189$

Paso 4.1.3.9

Resta $531$ de $648$ .

$117 - 102 \cdot 3 + 189$

Paso 4.1.3.10

Multiplica $- 102$ por $3$ .

$117 - 306 + 189$

Paso 4.1.3.11

Resta $306$ de $117$ .

$- 189 + 189$

Paso 4.1.3.12

Suma $- 189$ y $189$ .

$0$

Paso 4.1.4

Como $3$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 3$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 189}{x - 3}$

Paso 4.1.5

Divide $4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 189$ por $x - 3$ .

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Paso 4.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

Paso 4.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $4 x^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$4 x^{3}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

Paso 4.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$4 x^{3}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

Paso 4.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $4 x^{4} - 12 x^{3}$ .

$4 x^{3}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

Paso 4.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$4 x^{3}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

Paso 4.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$4 x^{3}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

Paso 4.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $24 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

Paso 4.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

Paso 4.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $24 x^{3} - 72 x^{2}$ .

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

Paso 4.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

Paso 4.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

Paso 4.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $13 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

Paso 4.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

Paso 4.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $13 x^{2} - 39 x$ .

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

Paso 4.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

$63 x$

Paso 4.1.5.16

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

$63 x$

$189$

Paso 4.1.5.17

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 63 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$63$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

$63 x$

$189$

Paso 4.1.5.18

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$63$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

$63 x$

$189$

$63 x$

$189$

Paso 4.1.5.19

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 63 x + 189$ .

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$63$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

$63 x$

$189$

$63 x$

$189$

Paso 4.1.5.20

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$63$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

$63 x$

$189$

$63 x$

$189$

$0$

Paso 4.1.5.21

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63$

Paso 4.1.6

Escribe $4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 189$ como un conjunto de factores.

$(x - 3) (4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63) = 0$

Paso 4.2

Factoriza $4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 4.2.1

Factoriza $4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 4.2.1.1

$p = \pm 1, \pm 63, \pm 3, \pm 21, \pm 7, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Paso 4.2.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 63, \pm 15.75, \pm 31.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5, \pm 21, \pm 5.25, \pm 10.5, \pm 7, \pm 1.75, \pm 3.5, \pm 9, \pm 2.25, \pm 4.5$

Paso 4.2.1.3

Sustituye $- 4.5$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 4.5$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.2.1.3.1

Sustituye $- 4.5$ en el polinomio.

$4 {(- 4.5)}^{3} + 24 {(- 4.5)}^{2} + 13 \cdot - 4.5 - 63$

Paso 4.2.1.3.2

Eleva $- 4.5$ a la potencia de $3$ .

$4 \cdot - 91.125 + 24 {(- 4.5)}^{2} + 13 \cdot - 4.5 - 63$

Paso 4.2.1.3.3

Multiplica $4$ por $- 91.125$ .

$- 364.5 + 24 {(- 4.5)}^{2} + 13 \cdot - 4.5 - 63$

Paso 4.2.1.3.4

Eleva $- 4.5$ a la potencia de $2$ .

$- 364.5 + 24 \cdot 20.25 + 13 \cdot - 4.5 - 63$

Paso 4.2.1.3.5

Multiplica $24$ por $20.25$ .

$- 364.5 + 486 + 13 \cdot - 4.5 - 63$

Paso 4.2.1.3.6

Suma $- 364.5$ y $486$ .

$121.5 + 13 \cdot - 4.5 - 63$

Paso 4.2.1.3.7

Multiplica $13$ por $- 4.5$ .

$121.5 - 58.5 - 63$

Paso 4.2.1.3.8

Resta $58.5$ de $121.5$ .

$63 - 63$

Paso 4.2.1.3.9

Resta $63$ de $63$ .

$0$

Paso 4.2.1.4

Como $- 4.5$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $2 x + 9$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63}{2 x + 9}$

Paso 4.2.1.5

Divide $4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63$ por $2 x + 9$ .

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Paso 4.2.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$2 x$

$9$

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$63$

Paso 4.2.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $4 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

					$2 x^{2}$
	$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$

Paso 4.2.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			+	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$

Paso 4.2.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $4 x^{3} + 18 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$

Paso 4.2.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

Paso 4.2.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$

Paso 4.2.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $6 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$

Paso 4.2.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$27 x$

Paso 4.2.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $6 x^{2} + 27 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$

Paso 4.2.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							-	$14 x$

Paso 4.2.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							-	$14 x$	-	$63$

Paso 4.2.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 14 x$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$7$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							-	$14 x$	-	$63$

Paso 4.2.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$7$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							-	$14 x$	-	$63$
							-	$14 x$	-	$63$

Paso 4.2.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 14 x - 63$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$7$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							-	$14 x$	-	$63$
							+	$14 x$	+	$63$

Paso 4.2.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$7$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							-	$14 x$	-	$63$
							+	$14 x$	+	$63$
										$0$

Paso 4.2.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$2 x^{2} + 3 x - 7$

Paso 4.2.1.6

Escribe $4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63$ como un conjunto de factores.

$(x - 3) ((2 x + 9) (2 x^{2} + 3 x - 7)) = 0$

Paso 4.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x - 3) (2 x + 9) (2 x^{2} + 3 x - 7) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$2 x + 9 = 0$

$2 x^{2} + 3 x - 7 = 0$

Paso 6

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 6.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 7

Establece $2 x + 9$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $2 x + 9$ igual a $0$ .

$2 x + 9 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $2 x + 9 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.2.1

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 9$

Paso 7.2.2

Divide cada término en $2 x = - 9$ por $2$ y simplifica.

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Paso 7.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 9$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 9}{2}$

Paso 7.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 9}{2}$

Paso 7.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 9}{2}$

Paso 7.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{9}{2}$

Paso 8

Establece $2 x^{2} + 3 x - 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.1

Establece $2 x^{2} + 3 x - 7$ igual a $0$ .

$2 x^{2} + 3 x - 7 = 0$

Paso 8.2

Resuelve $2 x^{2} + 3 x - 7 = 0$ en $x$ .

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Paso 8.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 8.2.2

Sustituye los valores $a = 2$ , $b = 3$ y $c = - 7$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 7)}}{2 \cdot 2}$

Paso 8.2.3

Simplifica.

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Paso 8.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.3.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 7}}{2 \cdot 2}$

Paso 8.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 7$ .

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Paso 8.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 7}}{2 \cdot 2}$

Paso 8.2.3.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $- 7$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 56}}{2 \cdot 2}$

Paso 8.2.3.1.3

Suma $9$ y $56$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{65}}{2 \cdot 2}$

Paso 8.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{65}}{4}$

Paso 8.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{3 - \sqrt{65}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{65}}{4}$

Paso 9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 3) (2 x + 9) (2 x^{2} + 3 x - 7) = 0$ verdadera.

$x = 3, - \frac{9}{2}, - \frac{3 - \sqrt{65}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{65}}{4}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = 3, - \frac{9}{2}, - \frac{3 - \sqrt{65}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{65}}{4}$

Forma decimal:

$x = 3, - 4.5, 1.26556443 \dots, - 2.76556443 \dots$

Forma de número mixto:

$x = 3, - 4 \frac{1}{2}, - \frac{3 - \sqrt{65}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{65}}{4}$