Matemática discreta Ejemplos

$8000 e^{0.06 t} = 47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t}$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (8000 e^{0.06 t}) = \ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Reescribe $\ln (8000 e^{0.06 t})$ como $\ln (8000) + \ln (e^{0.06 t})$ .

$\ln (8000) + \ln (e^{0.06 t}) = \ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

Paso 2.2

Expande $\ln (e^{0.06 t})$ ; para ello, mueve $0.06 t$ fuera del logaritmo.

$\ln (8000) + 0.06 t \ln (e) = \ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

Paso 2.3

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\ln (8000) + 0.06 t \cdot 1 = \ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

Paso 2.4

Multiplica $0.06$ por $1$ .

$\ln (8000) + 0.06 t = \ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

Paso 3

Expande el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Reescribe $\ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$ como $\ln (47000) + \ln ({(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$ .

$\ln (8000) + 0.06 t = \ln (47000) + \ln ({(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

Paso 3.2

Expande $\ln ({(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$ ; para ello, mueve $t$ fuera del logaritmo.

$\ln (8000) + 0.06 t = \ln (47000) + t \ln (1 + \frac{0.03}{1})$

Paso 3.3

Divide $0.03$ por $1$ .

$\ln (8000) + 0.06 t = \ln (47000) + t \ln (1 + 0.03)$

Paso 3.4

Suma $1$ y $0.03$ .

$\ln (8000) + 0.06 t = \ln (47000) + t \ln (1.03)$

Paso 4

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (8000) - \ln (47000) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

Paso 5

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{8000}{47000}) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

Paso 6

Cancela el factor común de $8000$ y $47000$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Factoriza $1000$ de $8000$ .

$\ln (\frac{1000 (8)}{47000}) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

Paso 6.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Factoriza $1000$ de $47000$ .

$\ln (\frac{1000 \cdot 8}{1000 \cdot 47}) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

Paso 6.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{1000 \cdot 8}{1000 \cdot 47}) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

Paso 6.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{8}{47}) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

Paso 7

Suma $0.06 t$ a ambos lados de la ecuación.

$\ln (\frac{8}{47}) - t \ln (1.03) + 0.06 t = 0$

Paso 8

Resta $\ln (\frac{8}{47})$ de ambos lados de la ecuación.

$- t \ln (1.03) + 0.06 t = - \ln (\frac{8}{47})$

Paso 9

Factoriza $0.02 t$ de $- t \ln (1.03) + 0.06 t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Factoriza $0.02 t$ de $- t \ln (1.03)$ .

$0.02 t (- 50 \ln (1.03)) + 0.06 t = - \ln (\frac{8}{47})$

Paso 9.2

Factoriza $0.02 t$ de $0.06 t$ .

$0.02 t (- 50 \ln (1.03)) + 0.02 t (3) = - \ln (\frac{8}{47})$

Paso 9.3

Factoriza $0.02 t$ de $0.02 t (- 50 \ln (1.03)) + 0.02 t (3)$ .

$0.02 t (- 50 \ln (1.03) + 3) = - \ln (\frac{8}{47})$

Paso 10

Divide cada término en $0.02 t (- 50 \ln (1.03) + 3) = - \ln (\frac{8}{47})$ por $0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Divide cada término en $0.02 t (- 50 \ln (1.03) + 3) = - \ln (\frac{8}{47})$ por $0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)$ .

$\frac{0.02 t (- 50 \ln (1.03) + 3)}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)} = \frac{- \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

Paso 10.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1

Cancela el factor común de $0.02$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{0.02 t (- 50 \ln (1.03) + 3)}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)} = \frac{- \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

Paso 10.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{t (- 50 \ln (1.03) + 3)}{- 50 \ln (1.03) + 3} = \frac{- \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

Paso 10.2.2

Cancela el factor común de $- 50 \ln (1.03) + 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{t (- 50 \ln (1.03) + 3)}{- 50 \ln (1.03) + 3} = \frac{- \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

Paso 10.2.2.2

Divide $t$ por $1$ .

$t = \frac{- \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

Paso 10.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$t = - \frac{\ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

Paso 10.3.2

Multiplica por $1$ .

$t = - \frac{1 \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

Paso 10.3.3

Separa las fracciones.

$t = - (\frac{1}{0.02} \cdot \frac{\ln (\frac{8}{47})}{- 50 \ln (1.03) + 3})$

Paso 10.3.4

Divide $1$ por $0.02$ .

$t = - (50 \frac{\ln (\frac{8}{47})}{- 50 \ln (1.03) + 3})$

Paso 10.3.5

Combina $50$ y $\frac{\ln (\frac{8}{47})}{- 50 \ln (1.03) + 3}$ .

$t = - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{- 50 \ln (1.03) + 3}$

Paso 10.3.6

Factoriza $- 1$ de $- 50 \ln (1.03)$ .

$t = - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{- (50 \ln (1.03)) + 3}$

Paso 10.3.7

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$t = - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{- (50 \ln (1.03)) - 1 (- 3)}$

Paso 10.3.8

Factoriza $- 1$ de $- (50 \ln (1.03)) - 1 (- 3)$ .

$t = - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{- (50 \ln (1.03) - 3)}$

Paso 10.3.9

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.9.1

Reescribe $- (50 \ln (1.03) - 3)$ como $- 1 (50 \ln (1.03) - 3)$ .

$t = - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{- 1 (50 \ln (1.03) - 3)}$

Paso 10.3.9.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$t = - - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{50 \ln (1.03) - 3}$

Paso 10.3.9.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$t = 1 \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{50 \ln (1.03) - 3}$

Paso 10.3.9.4

Multiplica $\frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{50 \ln (1.03) - 3}$ por $1$ .

$t = \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{50 \ln (1.03) - 3}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$t = \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{50 \ln (1.03) - 3}$

Forma decimal:

$t = 58.16808110 \dots$