Matemática discreta Ejemplos

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{9} = 1$

Paso 1

Resta $\frac{{(y + 2)}^{2}}{9}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{4} = 1 - \frac{{(y + 2)}^{2}}{9}$

Paso 2

Simplifica $1 - \frac{{(y + 2)}^{2}}{9}$ .

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Paso 2.1

Combina en una fracción.

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Paso 2.1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{4} = \frac{9}{9} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{9}$

Paso 2.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{4} = \frac{9 - {(y + 2)}^{2}}{9}$

Paso 2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{4} = \frac{3^{2} - {(y + 2)}^{2}}{9}$

Paso 2.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3$ y $b = y + 2$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{4} = \frac{(3 + y + 2) (3 - (y + 2))}{9}$

Paso 2.2.3

Simplifica.

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Paso 2.2.3.1

Suma $3$ y $2$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{4} = \frac{(y + 5) (3 - (y + 2))}{9}$

Paso 2.2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{4} = \frac{(y + 5) (3 - y - 1 \cdot 2)}{9}$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{4} = \frac{(y + 5) (3 - y - 2)}{9}$

Paso 2.2.3.4

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{4} = \frac{(y + 5) (- y + 1)}{9}$

Paso 2.3

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.3.1

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{4} = \frac{(y + 5) (- (y) + 1)}{9}$

Paso 2.3.2

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{4} = \frac{(y + 5) (- (y) - 1 (- 1))}{9}$

Paso 2.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (y) - 1 (- 1)$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{4} = \frac{(y + 5) (- (y - 1))}{9}$

Paso 2.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.4.1

Reescribe $- (y - 1)$ como $- 1 (y - 1)$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{4} = \frac{(y + 5) (- 1 (y - 1))}{9}$

Paso 2.3.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{4} = - \frac{(y + 5) (y - 1)}{9}$

Paso 3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $4$ .

$4 \frac{{(x - 5)}^{2}}{4} = 4 (- \frac{(y + 5) (y - 1)}{9})$

Paso 4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.1.1.1

Cancela el factor común.

$4 \frac{{(x - 5)}^{2}}{4} = 4 (- \frac{(y + 5) (y - 1)}{9})$

Paso 4.1.1.2

Reescribe la expresión.

${(x - 5)}^{2} = 4 (- \frac{(y + 5) (y - 1)}{9})$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $4 (- \frac{(y + 5) (y - 1)}{9})$ .

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $4 (- \frac{(y + 5) (y - 1)}{9})$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

${(x - 5)}^{2} = - 4 \frac{(y + 5) (y - 1)}{9}$

Paso 4.2.1.1.2

Combina $- 4$ y $\frac{(y + 5) (y - 1)}{9}$ .

${(x - 5)}^{2} = \frac{- 4 ((y + 5) (y - 1))}{9}$

Paso 4.2.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

${(x - 5)}^{2} = - \frac{4 (y + 5) (y - 1)}{9}$

Paso 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - 5 = \pm \sqrt{- \frac{4 (y + 5) (y - 1)}{9}}$

Paso 6

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{4 (y + 5) (y - 1)}{9}}$ .

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Paso 6.1

Reescribe $- \frac{4 (y + 5) (y - 1)}{9}$ como ${(\frac{2}{3})}^{2} \cdot (- (y + 5) (y - 1))$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4 (y + 5) (y - 1)$ .

$x - 5 = \pm \sqrt{- \frac{2^{2} ((y + 5) (y - 1))}{9}}$

Paso 6.1.2

Factoriza la potencia perfecta $3^{2}$ de $9$ .

$x - 5 = \pm \sqrt{- \frac{2^{2} ((y + 5) (y - 1))}{3^{2} \cdot 1}}$

Paso 6.1.3

Reorganiza la fracción $\frac{2^{2} ((y + 5) (y - 1))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$x - 5 = \pm \sqrt{- ({(\frac{2}{3})}^{2} ((y + 5) (y - 1)))}$

Paso 6.1.4

Reordena $- 1$ y ${(\frac{2}{3})}^{2}$ .

$x - 5 = \pm \sqrt{{(\frac{2}{3})}^{2} \cdot - 1 (y + 5) (y - 1)}$

Paso 6.1.5

Agrega paréntesis.

$x - 5 = \pm \sqrt{{(\frac{2}{3})}^{2} \cdot - 1 ((y + 5) (y - 1))}$

Paso 6.1.6

Agrega paréntesis.

$x - 5 = \pm \sqrt{{(\frac{2}{3})}^{2} \cdot (- (y + 5) (y - 1))}$

Paso 6.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x - 5 = \pm \frac{2}{3} \sqrt{- (y + 5) (y - 1)}$

Paso 6.3

Combina $\frac{2}{3}$ y $\sqrt{- (y + 5) (y - 1)}$ .

$x - 5 = \pm \frac{2 \sqrt{- (y + 5) (y - 1)}}{3}$

Paso 7

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 7.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x - 5 = \frac{2 \sqrt{- (y + 5) (y - 1)}}{3}$

Paso 7.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{2 \sqrt{- (y + 5) (y - 1)}}{3} + 5$

Paso 7.3

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x - 5 = - \frac{2 \sqrt{- (y + 5) (y - 1)}}{3}$

Paso 7.4

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = - \frac{2 \sqrt{- (y + 5) (y - 1)}}{3} + 5$

Paso 7.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{2 \sqrt{- (y + 5) (y - 1)}}{3} + 5$

$x = - \frac{2 \sqrt{- (y + 5) (y - 1)}}{3} + 5$

$x = \frac{2 \sqrt{- (y + 5) (y - 1)}}{3} + 5$

$x = - \frac{2 \sqrt{- (y + 5) (y - 1)}}{3} + 5$