Matemática discreta Ejemplos

$\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{x} = \frac{1}{15}$

Paso 1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x + 5, x, 15$

Paso 1.2

Since $x + 5, x, 15$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

Los pasos para obtener el MCM para $x + 5, x, 15$ son los siguientes:

1. Busca el MCM para la parte numérica $1, 1, 15$ .

2. Busca el MCM para la parte variable $x^{1}$ .

3. Busca el MCM para la parte de variable compuesta $x + 5$ .

4. Multiplica cada MCM junto.

Paso 1.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 1.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 1.5

$15$ tiene factores de $3$ y $5$ .

$3 \cdot 5$

Paso 1.6

Multiplica $3$ por $5$ .

$15$

Paso 1.7

El factor para $x^{1}$ es $x$ en sí mismo.

$x^{1} = x$

$x$ ocurre $1$ vez.

Paso 1.8

El MCM de $x^{1}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$x$

Paso 1.9

El factor para $x + 5$ es $x + 5$ en sí mismo.

$(x + 5) = x + 5$

$(x + 5)$ ocurre $1$ vez.

Paso 1.10

El MCM de $x + 5$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$x + 5$

Paso 1.11

El mínimo común múltiplo $LCM$ de algunos números es el número más pequeño del que los números son factores.

$15 x (x + 5)$

Paso 2

Multiplica cada término en $\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{x} = \frac{1}{15}$ por $15 x (x + 5)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{x} = \frac{1}{15}$ por $15 x (x + 5)$ .

$\frac{1}{x + 5} (15 x (x + 5)) + \frac{1}{x} (15 x (x + 5)) = \frac{1}{15} (15 x (x + 5))$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$15 \frac{1}{x + 5} (x (x + 5)) + \frac{1}{x} (15 x (x + 5)) = \frac{1}{15} (15 x (x + 5))$

Paso 2.2.1.2

Combina $15$ y $\frac{1}{x + 5}$ .

$\frac{15}{x + 5} (x (x + 5)) + \frac{1}{x} (15 x (x + 5)) = \frac{1}{15} (15 x (x + 5))$

Paso 2.2.1.3

Cancela el factor común de $x + 5$ .

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Paso 2.2.1.3.1

Factoriza $x + 5$ de $x (x + 5)$ .

$\frac{15}{x + 5} ((x + 5) x) + \frac{1}{x} (15 x (x + 5)) = \frac{1}{15} (15 x (x + 5))$

Paso 2.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{15}{x + 5} ((x + 5) x) + \frac{1}{x} (15 x (x + 5)) = \frac{1}{15} (15 x (x + 5))$

Paso 2.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$15 x + \frac{1}{x} (15 x (x + 5)) = \frac{1}{15} (15 x (x + 5))$

Paso 2.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$15 x + 15 \frac{1}{x} (x (x + 5)) = \frac{1}{15} (15 x (x + 5))$

Paso 2.2.1.5

Combina $15$ y $\frac{1}{x}$ .

$15 x + \frac{15}{x} (x (x + 5)) = \frac{1}{15} (15 x (x + 5))$

Paso 2.2.1.6

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.2.1.6.1

Cancela el factor común.

$15 x + \frac{15}{x} (x (x + 5)) = \frac{1}{15} (15 x (x + 5))$

Paso 2.2.1.6.2

Reescribe la expresión.

$15 x + 15 (x + 5) = \frac{1}{15} (15 x (x + 5))$

Paso 2.2.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$15 x + 15 x + 15 \cdot 5 = \frac{1}{15} (15 x (x + 5))$

Paso 2.2.1.8

Multiplica $15$ por $5$ .

$15 x + 15 x + 75 = \frac{1}{15} (15 x (x + 5))$

Paso 2.2.2

Suma $15 x$ y $15 x$ .

$30 x + 75 = \frac{1}{15} (15 x (x + 5))$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común de $15$ .

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Paso 2.3.1.1

Factoriza $15$ de $15 x (x + 5)$ .

$30 x + 75 = \frac{1}{15} (15 (x (x + 5)))$

Paso 2.3.1.2

Cancela el factor común.

$30 x + 75 = \frac{1}{15} (15 (x (x + 5)))$

Paso 2.3.1.3

Reescribe la expresión.

$30 x + 75 = x (x + 5)$

Paso 2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$30 x + 75 = x \cdot x + x \cdot 5$

Paso 2.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$30 x + 75 = x^{2} + x \cdot 5$

Paso 2.3.3.2

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$30 x + 75 = x^{2} + 5 x$

Paso 3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$x^{2} + 5 x = 30 x + 75$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Resta $30 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 5 x - 30 x = 75$

Paso 3.2.2

Resta $30 x$ de $5 x$ .

$x^{2} - 25 x = 75$

Paso 3.3

Resta $75$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 25 x - 75 = 0$

Paso 3.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.5

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 25$ y $c = - 75$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{25 \pm \sqrt{{(- 25)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 75)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1.1

Eleva $- 25$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 4 \cdot 1 \cdot - 75}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 75$ .

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Paso 3.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 4 \cdot - 75}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 75$ .

$x = \frac{25 \pm \sqrt{625 + 300}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.3

Suma $625$ y $300$ .

$x = \frac{25 \pm \sqrt{925}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.4

Reescribe $925$ como $5^{2} \cdot 37$ .

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Paso 3.6.1.4.1

Factoriza $25$ de $925$ .

$x = \frac{25 \pm \sqrt{25 (37)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.4.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$x = \frac{25 \pm \sqrt{5^{2} \cdot 37}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{25 \pm 5 \sqrt{37}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{25 \pm 5 \sqrt{37}}{2}$

Paso 3.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{25 + 5 \sqrt{37}}{2}, \frac{25 - 5 \sqrt{37}}{2}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{25 + 5 \sqrt{37}}{2}, \frac{25 - 5 \sqrt{37}}{2}$

Forma decimal:

$x = 27.70690632 \dots, - 2.70690632 \dots$