Matemática discreta Ejemplos

$2^{2 x} + 128 = 24 \cdot 2^{x}$

Paso 1

Resta $24 \cdot 2^{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$2^{2 x} + 128 - 24 \cdot 2^{x} = 0$

Paso 2

Reescribe $2^{2 x}$ como exponenciación.

${(2^{x})}^{2} + 128 - 24 \cdot 2^{x} = 0$

Paso 3

Sustituye $u$ por $2^{x}$ .

$u^{2} + 128 - 24 u = 0$

Paso 4

Mueve $128$ .

$u^{2} - 24 u + 128 = 0$

Paso 5

Resuelve $u$

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Paso 5.1

Factoriza $u^{2} - 24 u + 128$ con el método AC.

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Paso 5.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $128$ y cuya suma es $- 24$ .

$- 16, - 8$

Paso 5.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 16) (u - 8) = 0$

Paso 5.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 16 = 0$

$u - 8 = 0$

Paso 5.3

Establece $u - 16$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 5.3.1

Establece $u - 16$ igual a $0$ .

$u - 16 = 0$

Paso 5.3.2

Suma $16$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 16$

Paso 5.4

Establece $u - 8$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 5.4.1

Establece $u - 8$ igual a $0$ .

$u - 8 = 0$

Paso 5.4.2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 8$

Paso 5.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u - 16) (u - 8) = 0$ verdadera.

$u = 16, 8$

Paso 6

Sustituye $16$ por $u$ en $u = 2^{x}$ .

$16 = 2^{x}$

Paso 7

Resuelve $16 = 2^{x}$ .

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Paso 7.1

Reescribe la ecuación como $2^{x} = 16$ .

$2^{x} = 16$

Paso 7.2

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$2^{x} = 2^{4}$

Paso 7.3

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$x = 4$

Paso 8

Sustituye $8$ por $u$ en $u = 2^{x}$ .

$8 = 2^{x}$

Paso 9

Resuelve $8 = 2^{x}$ .

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Paso 9.1

Reescribe la ecuación como $2^{x} = 8$ .

$2^{x} = 8$

Paso 9.2

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$2^{x} = 2^{3}$

Paso 9.3

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$x = 3$

Paso 10

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$x = 4, 3$