Matemática discreta Ejemplos

$\frac{x - 2}{\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30}} = \frac{1}{3}$

Paso 1

Multiplicación cruzada.

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Paso 1.1

Aplica la multiplicación cruzada; para ello, haz que el producto del numerador del lado derecho y el denominador del lado izquierdo sean iguales al producto del numerador del lado izquierdo y el denominador del lado derecho.

$1 \cdot (\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30}) = (x - 2) \cdot (3)$

Paso 1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1

Multiplica $\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30}$ por $1$ .

$\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30} = (x - 2) \cdot (3)$

Paso 1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.1

Simplifica $(x - 2) \cdot (3)$ .

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Paso 1.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30} = x \cdot 3 - 2 \cdot 3$

Paso 1.3.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.1.2.1

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30} = 3 \cdot x - 2 \cdot 3$

Paso 1.3.1.2.2

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30} = 3 x - 6$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30}}^{2} = {(3 x - 6)}^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30}$ como ${(4 x^{2} - 19 x + 30)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 x^{2} - 19 x + 30)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 6)}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${({(4 x^{2} - 19 x + 30)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(4 x^{2} - 19 x + 30)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 x^{2} - 19 x + 30)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 6)}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(4 x^{2} - 19 x + 30)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 6)}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(4 x^{2} - 19 x + 30)}^{1} = {(3 x - 6)}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica.

$4 x^{2} - 19 x + 30 = {(3 x - 6)}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${(3 x - 6)}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe ${(3 x - 6)}^{2}$ como $(3 x - 6) (3 x - 6)$ .

$4 x^{2} - 19 x + 30 = (3 x - 6) (3 x - 6)$

Paso 3.3.1.2

Expande $(3 x - 6) (3 x - 6)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 3 x (3 x - 6) - 6 (3 x - 6)$

Paso 3.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 6 - 6 (3 x - 6)$

Paso 3.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 6 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 6$

Paso 3.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 6 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 6$

Paso 3.3.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 6 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 6$

Paso 3.3.1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 6 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 6$

Paso 3.3.1.3.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 9 x^{2} + 3 x \cdot - 6 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 6$

Paso 3.3.1.3.1.4

Multiplica $- 6$ por $3$ .

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 9 x^{2} - 18 x - 6 (3 x) - 6 \cdot - 6$

Paso 3.3.1.3.1.5

Multiplica $3$ por $- 6$ .

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 9 x^{2} - 18 x - 18 x - 6 \cdot - 6$

Paso 3.3.1.3.1.6

Multiplica $- 6$ por $- 6$ .

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 9 x^{2} - 18 x - 18 x + 36$

Paso 3.3.1.3.2

Resta $18 x$ de $- 18 x$ .

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 9 x^{2} - 36 x + 36$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1.1

Resta $9 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} - 19 x + 30 - 9 x^{2} = - 36 x + 36$

Paso 4.1.2

Suma $36 x$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} - 19 x + 30 - 9 x^{2} + 36 x = 36$

Paso 4.1.3

Resta $9 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$- 5 x^{2} - 19 x + 30 + 36 x = 36$

Paso 4.1.4

Suma $- 19 x$ y $36 x$ .

$- 5 x^{2} + 17 x + 30 = 36$

Paso 4.2

Resta $36$ de ambos lados de la ecuación.

$- 5 x^{2} + 17 x + 30 - 36 = 0$

Paso 4.3

Resta $36$ de $30$ .

$- 5 x^{2} + 17 x - 6 = 0$

Paso 4.4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.4.1

Factoriza $- 1$ de $- 5 x^{2} + 17 x - 6$ .

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Paso 4.4.1.1

Factoriza $- 1$ de $- 5 x^{2}$ .

$- (5 x^{2}) + 17 x - 6 = 0$

Paso 4.4.1.2

Factoriza $- 1$ de $17 x$ .

$- (5 x^{2}) - (- 17 x) - 6 = 0$

Paso 4.4.1.3

Reescribe $- 6$ como $- 1 (6)$ .

$- (5 x^{2}) - (- 17 x) - 1 \cdot 6 = 0$

Paso 4.4.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (5 x^{2}) - (- 17 x)$ .

$- (5 x^{2} - 17 x) - 1 \cdot 6 = 0$

Paso 4.4.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (5 x^{2} - 17 x) - 1 (6)$ .

$- (5 x^{2} - 17 x + 6) = 0$

Paso 4.4.2

Factoriza.

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Paso 4.4.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.4.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 5 \cdot 6 = 30$ y cuya suma es $b = - 17$ .

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Paso 4.4.2.1.1.1

Factoriza $- 17$ de $- 17 x$ .

$- (5 x^{2} - 17 x + 6) = 0$

Paso 4.4.2.1.1.2

Reescribe $- 17$ como $- 2$ más $- 15$

$- (5 x^{2} + (- 2 - 15) x + 6) = 0$

Paso 4.4.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- (5 x^{2} - 2 x - 15 x + 6) = 0$

Paso 4.4.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.4.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- ((5 x^{2} - 2 x) - 15 x + 6) = 0$

Paso 4.4.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- (x (5 x - 2) - 3 (5 x - 2)) = 0$

Paso 4.4.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $5 x - 2$ .

$- ((5 x - 2) (x - 3)) = 0$

Paso 4.4.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (5 x - 2) (x - 3) = 0$

Paso 4.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$5 x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 4.6

Establece $5 x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.6.1

Establece $5 x - 2$ igual a $0$ .

$5 x - 2 = 0$

Paso 4.6.2

Resuelve $5 x - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.6.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$5 x = 2$

Paso 4.6.2.2

Divide cada término en $5 x = 2$ por $5$ y simplifica.

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Paso 4.6.2.2.1

Divide cada término en $5 x = 2$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Paso 4.6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Paso 4.6.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{5}$

Paso 4.7

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.7.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 4.7.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 4.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (5 x - 2) (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = \frac{2}{5}, 3$

Paso 5

Excluye las soluciones que no hagan que $\frac{x - 2}{\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30}} = \frac{1}{3}$ sea verdadera.

$x = 3$