Matemática discreta Ejemplos

$x^{6} + 28 x^{3} + 27 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reescribe $x^{6}$ como ${(x^{3})}^{2}$ .

${(x^{3})}^{2} + 28 x^{3} + 27 = 0$

Paso 1.2

Sea $u = x^{3}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{3}$ .

$u^{2} + 28 u + 27 = 0$

Paso 1.3

Factoriza $u^{2} + 28 u + 27$ con el método AC.

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Paso 1.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $27$ y cuya suma es $28$ .

$1, 27$

Paso 1.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u + 1) (u + 27) = 0$

Paso 1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3}$ .

$(x^{3} + 1) (x^{3} + 27) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{3} + 1 = 0$

$x^{3} + 27 = 0$

Paso 3

Establece $x^{3} + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $x^{3} + 1$ igual a $0$ .

$x^{3} + 1 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x^{3} + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} = - 1$

Paso 3.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{3} + 1 = 0$

Paso 3.2.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.3.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$x^{3} + 1^{3} = 0$

Paso 3.2.3.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 3.2.3.3

Simplifica.

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Paso 3.2.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) = 0$

Paso 3.2.3.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

Paso 3.2.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

Paso 3.2.5

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.2.5.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 3.2.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 3.2.6

Establece $x^{2} - x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.2.6.1

Establece $x^{2} - x + 1$ igual a $0$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Paso 3.2.6.2

Resuelve $x^{2} - x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.2.6.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 1$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.6.2.3

Simplifica.

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Paso 3.2.6.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.6.2.3.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.6.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 3.2.6.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.6.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.6.2.3.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.6.2.3.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.6.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.6.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.6.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.2.6.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ verdadera.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 4

Establece $x^{3} + 27$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x^{3} + 27$ igual a $0$ .

$x^{3} + 27 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x^{3} + 27 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Resta $27$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} = - 27$

Paso 4.2.2

Suma $27$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{3} + 27 = 0$

Paso 4.2.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.2.3.1

Reescribe $27$ como $3^{3}$ .

$x^{3} + 3^{3} = 0$

Paso 4.2.3.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$(x + 3) (x^{2} - x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Paso 4.2.3.3

Simplifica.

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Paso 4.2.3.3.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 3^{2}) = 0$

Paso 4.2.3.3.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) = 0$

Paso 4.2.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

$x^{2} - 3 x + 9 = 0$

Paso 4.2.5

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.2.5.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 4.2.5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 4.2.6

Establece $x^{2} - 3 x + 9$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.2.6.1

Establece $x^{2} - 3 x + 9$ igual a $0$ .

$x^{2} - 3 x + 9 = 0$

Paso 4.2.6.2

Resuelve $x^{2} - 3 x + 9 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.2.6.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 3$ y $c = 9$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.6.2.3

Simplifica.

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Paso 4.2.6.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.6.2.3.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.6.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Paso 4.2.6.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.6.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.6.2.3.1.3

Resta $36$ de $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.6.2.3.1.4

Reescribe $- 27$ como $- 1 (27)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.6.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (27)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.6.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.6.2.3.1.7

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 4.2.6.2.3.1.7.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.6.2.3.1.7.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.6.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.6.2.3.1.9

Mueve $3$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.6.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 4.2.6.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 4.2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) = 0$ verdadera.

$x = - 3, \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{3} + 1) (x^{3} + 27) = 0$ verdadera.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - 3, \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$