Matemática discreta Ejemplos

$x^{\frac{- 2}{3}} + x^{\frac{- 1}{3}} - 56 = 0$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{- \frac{2}{3}} + x^{\frac{- 1}{3}} - 56 = 0$

Paso 1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + x^{\frac{- 1}{3}} - 56 = 0$

Paso 1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + x^{- \frac{1}{3}} - 56 = 0$

Paso 1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - 56 = 0$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{1}{3}}, 1, 1$

Paso 2.2

Since $x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{1}{3}}, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{1}{3}}$ .

Paso 2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 2.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 2.5

El MCM de $1, 1, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

Paso 2.6

El MCM de $x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{1}{3}}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$x^{\frac{2}{3}}$

Paso 3

Multiplica cada término en $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - 56 = 0$ por $x^{\frac{2}{3}}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - 56 = 0$ por $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{2}{3}} - 56 x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común de $x^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{2}{3}} - 56 x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$1 + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{2}{3}} - 56 x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.2.1.2

Cancela el factor común de $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 3.2.1.2.1

Factoriza $x^{\frac{1}{3}}$ de $x^{\frac{2}{3}}$ .

$1 + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}) - 56 x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$1 + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}) - 56 x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$1 + x^{\frac{1}{3}} - 56 x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Multiplica $0$ por $x^{\frac{2}{3}}$ .

$1 + x^{\frac{1}{3}} - 56 x^{\frac{2}{3}} = 0$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.1

Obtén un factor común $x^{\frac{1}{3}}$ que esté presente en cada término.

$1 + x^{\frac{1}{3}} - 56 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$

Paso 4.2

Sustituye $u$ por $x^{\frac{1}{3}}$ .

$1 + u - 56 {(u)}^{2} = 0$

Paso 4.3

Resuelve $u$

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Paso 4.3.1

Elimina los paréntesis.

$1 + u - 56 u^{2} = 0$

Paso 4.3.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $- 1$ de $1 + u - 56 u^{2}$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Reordena la expresión.

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Paso 4.3.2.1.1.1

Mueve $1$ .

$u - 56 u^{2} + 1 = 0$

Paso 4.3.2.1.1.2

Reordena $u$ y $- 56 u^{2}$ .

$- 56 u^{2} + u + 1 = 0$

Paso 4.3.2.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 56 u^{2}$ .

$- (56 u^{2}) + u + 1 = 0$

Paso 4.3.2.1.3

Factoriza $- 1$ de $u$ .

$- (56 u^{2}) - 1 (- u) + 1 = 0$

Paso 4.3.2.1.4

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$- (56 u^{2}) - 1 (- u) - 1 \cdot - 1 = 0$

Paso 4.3.2.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (56 u^{2}) - 1 (- u)$ .

$- (56 u^{2} - u) - 1 \cdot - 1 = 0$

Paso 4.3.2.1.6

Factoriza $- 1$ de $- (56 u^{2} - u) - 1 (- 1)$ .

$- (56 u^{2} - u - 1) = 0$

Paso 4.3.2.2

Factoriza.

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Paso 4.3.2.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.3.2.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 56 \cdot - 1 = - 56$ y cuya suma es $b = - 1$ .

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Paso 4.3.2.2.1.1.1

Factoriza $- 1$ de $- u$ .

$- (56 u^{2} - (u) - 1) = 0$

Paso 4.3.2.2.1.1.2

Reescribe $- 1$ como $7$ más $- 8$

$- (56 u^{2} + (7 - 8) u - 1) = 0$

Paso 4.3.2.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- (56 u^{2} + 7 u - 8 u - 1) = 0$

Paso 4.3.2.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.3.2.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- ((56 u^{2} + 7 u) - 8 u - 1) = 0$

Paso 4.3.2.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- (7 u (8 u + 1) - (8 u + 1)) = 0$

Paso 4.3.2.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $8 u + 1$ .

$- ((8 u + 1) (7 u - 1)) = 0$

Paso 4.3.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (8 u + 1) (7 u - 1) = 0$

Paso 4.3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$8 u + 1 = 0$

$7 u - 1 = 0$

Paso 4.3.4

Establece $8 u + 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 4.3.4.1

Establece $8 u + 1$ igual a $0$ .

$8 u + 1 = 0$

Paso 4.3.4.2

Resuelve $8 u + 1 = 0$ en $u$ .

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Paso 4.3.4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$8 u = - 1$

Paso 4.3.4.2.2

Divide cada término en $8 u = - 1$ por $8$ y simplifica.

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Paso 4.3.4.2.2.1

Divide cada término en $8 u = - 1$ por $8$ .

$\frac{8 u}{8} = \frac{- 1}{8}$

Paso 4.3.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 4.3.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 u}{8} = \frac{- 1}{8}$

Paso 4.3.4.2.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 1}{8}$

Paso 4.3.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.4.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u = - \frac{1}{8}$

Paso 4.3.5

Establece $7 u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 4.3.5.1

Establece $7 u - 1$ igual a $0$ .

$7 u - 1 = 0$

Paso 4.3.5.2

Resuelve $7 u - 1 = 0$ en $u$ .

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Paso 4.3.5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$7 u = 1$

Paso 4.3.5.2.2

Divide cada término en $7 u = 1$ por $7$ y simplifica.

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Paso 4.3.5.2.2.1

Divide cada término en $7 u = 1$ por $7$ .

$\frac{7 u}{7} = \frac{1}{7}$

Paso 4.3.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 4.3.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 u}{7} = \frac{1}{7}$

Paso 4.3.5.2.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{7}$

Paso 4.3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (8 u + 1) (7 u - 1) = 0$ verdadera.

$u = - \frac{1}{8}, \frac{1}{7}$

Paso 4.4

Sustituye $x$ por $u$ .

$x^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{8}, \frac{1}{7}$

Paso 4.5

Resuelve para $x^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{8}$ en $x$ .

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Paso 4.5.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- \frac{1}{8})}^{3}$

Paso 4.5.2

Simplifica el exponente.

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Paso 4.5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.5.2.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 4.5.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 4.5.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{1}{8})}^{3}$

Paso 4.5.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.5.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{1}{8})}^{3}$

Paso 4.5.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = {(- \frac{1}{8})}^{3}$

Paso 4.5.2.1.1.2

Simplifica.

$x = {(- \frac{1}{8})}^{3}$

Paso 4.5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.5.2.2.1

Simplifica ${(- \frac{1}{8})}^{3}$ .

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Paso 4.5.2.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.5.2.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{8}$ .

$x = {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{8})}^{3}$

Paso 4.5.2.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{8}$ .

$x = {(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{8^{3}}$

Paso 4.5.2.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$x = - \frac{1^{3}}{8^{3}}$

Paso 4.5.2.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = - \frac{1}{8^{3}}$

Paso 4.5.2.2.1.4

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$x = - \frac{1}{512}$

Paso 4.6

Resuelve para $x^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{7}$ en $x$ .

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Paso 4.6.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{1}{7})}^{3}$

Paso 4.6.2

Simplifica el exponente.

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Paso 4.6.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.6.2.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 4.6.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 4.6.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{1}{7})}^{3}$

Paso 4.6.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.6.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{1}{7})}^{3}$

Paso 4.6.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = {(\frac{1}{7})}^{3}$

Paso 4.6.2.1.1.2

Simplifica.

$x = {(\frac{1}{7})}^{3}$

Paso 4.6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.6.2.2.1

Simplifica ${(\frac{1}{7})}^{3}$ .

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Paso 4.6.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{7}$ .

$x = \frac{1^{3}}{7^{3}}$

Paso 4.6.2.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{1}{7^{3}}$

Paso 4.6.2.2.1.3

Eleva $7$ a la potencia de $3$ .

$x = \frac{1}{343}$

Paso 4.7

Enumera todas las soluciones.

$x = - \frac{1}{512}, \frac{1}{343}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{1}{512}, \frac{1}{343}$

Forma decimal:

$x = - 0.00195312 \dots, 0.00291545 \dots$