Matemática discreta Ejemplos

$5^{x - 1} = 6^{x}$

Paso 1

Resta el logaritmo de ambos lados de la ecuación.

$\ln (5^{x - 1}) = \ln (6^{x})$

Paso 2

Expande $\ln (5^{x - 1})$ ; para ello, mueve $x - 1$ fuera del logaritmo.

$(x - 1) \ln (5) = \ln (6^{x})$

Paso 3

Expande $\ln (6^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$(x - 1) \ln (5) = x \ln (6)$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 4.1

Simplifica $(x - 1) \ln (5)$ .

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Paso 4.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + (x - 1) \ln (5) = x \ln (6)$

Paso 4.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$(x - 1) \ln (5) = x \ln (6)$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \ln (5) - 1 \ln (5) = x \ln (6)$

Paso 4.1.4

Reescribe $- 1 \ln (5)$ como $- \ln (5)$ .

$x \ln (5) - \ln (5) = x \ln (6)$

Paso 4.2

Resta $x \ln (6)$ de ambos lados de la ecuación.

$x \ln (5) - \ln (5) - x \ln (6) = 0$

Paso 4.3

Suma $\ln (5)$ a ambos lados de la ecuación.

$x \ln (5) - x \ln (6) = \ln (5)$

Paso 4.4

Factoriza $x$ de $x \ln (5) - x \ln (6)$ .

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Paso 4.4.1

Factoriza $x$ de $x \ln (5)$ .

$x (\ln (5)) - x \ln (6) = \ln (5)$

Paso 4.4.2

Factoriza $x$ de $- x \ln (6)$ .

$x (\ln (5)) + x (- 1 \ln (6)) = \ln (5)$

Paso 4.4.3

Factoriza $x$ de $x (\ln (5)) + x (- 1 \ln (6))$ .

$x (\ln (5) - 1 \ln (6)) = \ln (5)$

Paso 4.5

Reescribe $- 1 \ln (6)$ como $- \ln (6)$ .

$x (\ln (5) - \ln (6)) = \ln (5)$

Paso 4.6

Divide cada término en $x (\ln (5) - \ln (6)) = \ln (5)$ por $\ln (5) - \ln (6)$ y simplifica.

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Paso 4.6.1

Divide cada término en $x (\ln (5) - \ln (6)) = \ln (5)$ por $\ln (5) - \ln (6)$ .

$\frac{x (\ln (5) - \ln (6))}{\ln (5) - \ln (6)} = \frac{\ln (5)}{\ln (5) - \ln (6)}$

Paso 4.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.6.2.1

Cancela el factor común de $\ln (5) - \ln (6)$ .

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Paso 4.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (\ln (5) - \ln (6))}{\ln (5) - \ln (6)} = \frac{\ln (5)}{\ln (5) - \ln (6)}$

Paso 4.6.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (5)}{\ln (5) - \ln (6)}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{\ln (5)}{\ln (5) - \ln (6)}$

Forma decimal:

$x = - 8.82746911 \dots$