Matemática discreta Ejemplos

$5^{2 x} + 3 (5^{x}) = 28$

Paso 1

Reescribe $5^{2 x}$ como exponenciación.

${(5^{x})}^{2} + 3 \cdot 5^{x} = 28$

Paso 2

Sustituye $u$ por $5^{x}$ .

$u^{2} + 3 u = 28$

Paso 3

Resuelve $u$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Resta $28$ de ambos lados de la ecuación.

$u^{2} + 3 u - 28 = 0$

Paso 3.2

Factoriza $u^{2} + 3 u - 28$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 28$ y cuya suma es $3$ .

$- 4, 7$

Paso 3.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 4) (u + 7) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 4 = 0$

$u + 7 = 0$

Paso 3.4

Establece $u - 4$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Establece $u - 4$ igual a $0$ .

$u - 4 = 0$

Paso 3.4.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 4$

Paso 3.5

Establece $u + 7$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Establece $u + 7$ igual a $0$ .

$u + 7 = 0$

Paso 3.5.2

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 7$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u - 4) (u + 7) = 0$ verdadera.

$u = 4, - 7$

Paso 4

Sustituye $4$ por $u$ en $u = 5^{x}$ .

$4 = 5^{x}$

Paso 5

Resuelve $4 = 5^{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $5^{x} = 4$ .

$5^{x} = 4$

Paso 5.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (5^{x}) = \ln (4)$

Paso 5.3

Expande $\ln (5^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (5) = \ln (4)$

Paso 5.4

Divide cada término en $x \ln (5) = \ln (4)$ por $\ln (5)$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

Divide cada término en $x \ln (5) = \ln (4)$ por $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $\ln (5)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

Paso 6

Sustituye $- 7$ por $u$ en $u = 5^{x}$ .

$- 7 = 5^{x}$

Paso 7

Resuelve $- 7 = 5^{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reescribe la ecuación como $5^{x} = - 7$ .

$5^{x} = - 7$

Paso 7.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (5^{x}) = \ln (- 7)$

Paso 7.3

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (- 7)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 7.4

No hay soluciones para $5^{x} = - 7$

No hay solución

Paso 8

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$x = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

Forma decimal:

$x = 0.86135311 \dots$