Matemática discreta Ejemplos

$\frac{4 x \sqrt{x^{3} - 1} - (\frac{3 x^{4}}{\sqrt{x^{3} - 1}})}{x^{3} - 1} = 0$

Paso 1

Establece el numerador igual a cero.

$4 x \sqrt{x^{3} - 1} - \frac{3 x^{4}}{\sqrt{x^{3} - 1}} = 0$

Paso 2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.1

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$4 x \sqrt{x^{3} - 1^{3}} - \frac{3 x^{4}}{\sqrt{x^{3} - 1}} = 0$

Paso 2.1.1.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})} - \frac{3 x^{4}}{\sqrt{x^{3} - 1}} = 0$

Paso 2.1.1.3

Simplifica.

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Paso 2.1.1.3.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})} - \frac{3 x^{4}}{\sqrt{x^{3} - 1}} = 0$

Paso 2.1.1.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4}}{\sqrt{x^{3} - 1}} = 0$

Paso 2.1.1.4

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.1.4.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4}}{\sqrt{x^{3} - 1^{3}}} = 0$

Paso 2.1.1.4.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4}}{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}} = 0$

Paso 2.1.1.4.3

Simplifica.

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Paso 2.1.1.4.3.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4}}{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}} = 0$

Paso 2.1.1.4.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4}}{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}} = 0$

Paso 2.1.1.5

Multiplica $\frac{3 x^{4}}{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}$ por $\frac{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}$ .

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - (\frac{3 x^{4}}{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}) = 0$

Paso 2.1.1.6

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.1.1.6.1

Multiplica $\frac{3 x^{4}}{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}$ por $\frac{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}$ .

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}} = 0$

Paso 2.1.1.6.2

Eleva $\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ a la potencia de $1$ .

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}^{1} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}} = 0$

Paso 2.1.1.6.3

Eleva $\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ a la potencia de $1$ .

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}^{1} {\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}^{1}} = 0$

Paso 2.1.1.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}^{1 + 1}} = 0$

Paso 2.1.1.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{{\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}^{2}} = 0$

Paso 2.1.1.6.6

Reescribe ${\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}^{2}$ como $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

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Paso 2.1.1.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ como ${((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{{({((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 0$

Paso 2.1.1.6.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{{((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 0$

Paso 2.1.1.6.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{{((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{\frac{2}{2}}} = 0$

Paso 2.1.1.6.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.1.6.6.4.1

Cancela el factor común.

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{{((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{\frac{2}{2}}} = 0$

Paso 2.1.1.6.6.4.2

Reescribe la expresión.

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{{((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{1}} = 0$

Paso 2.1.1.6.6.5

Simplifica.

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Paso 2.1.2

Para escribir $4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ .

$4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} \cdot \frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Paso 2.1.3

Combina $4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ y $\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ .

$\frac{4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} ((x - 1) (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Paso 2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) - 3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Paso 2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.5.1

Factoriza $x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ de $4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) - 3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ .

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Paso 2.1.5.1.1

Factoriza $x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ de $4 x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} ((x - 1) (x^{2} + x + 1))$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))) - 3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Paso 2.1.5.1.2

Factoriza $x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ de $- 3 x^{4} \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))) + x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (- 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Paso 2.1.5.1.3

Factoriza $x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ de $x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))) + x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (- 3 x^{3})$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Paso 2.1.5.2

Expande $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Paso 2.1.5.3

Combina los términos opuestos en $x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1$ .

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Paso 2.1.5.3.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot 1$ y $- 1 x$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x \cdot x^{2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Paso 2.1.5.3.2

Resta $1 x$ de $1 x$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} + 0 - 1 \cdot 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Paso 2.1.5.3.3

Suma $x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Paso 2.1.5.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.5.4.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.5.4.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.1.5.4.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x^{1} x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Paso 2.1.5.4.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x^{1 + 2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Paso 2.1.5.4.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x^{3} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Paso 2.1.5.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x^{3} + x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Paso 2.1.5.4.3

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Paso 2.1.5.4.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Paso 2.1.5.5

Combina los términos opuestos en $x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1$ .

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Paso 2.1.5.5.1

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x^{3} + 0 - 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Paso 2.1.5.5.2

Suma $x^{3}$ y $0$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 (x^{3} - 1) - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Paso 2.1.5.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 x^{3} + 4 \cdot - 1 - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Paso 2.1.5.7

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (4 x^{3} - 4 - 3 x^{3})}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Paso 2.1.5.8

Resta $3 x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{x \sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Paso 2.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ como ${((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x {((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Paso 2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.1

Expande $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{x {(x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Paso 2.3.2

Combina los términos opuestos en $x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1$ .

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Paso 2.3.2.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot 1$ y $- 1 x$ .

$\frac{x {(x \cdot x^{2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Paso 2.3.2.2

Resta $1 x$ de $1 x$ .

$\frac{x {(x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} + 0 - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Paso 2.3.2.3

Suma $x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{x {(x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Paso 2.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.3.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.3.3.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x {(x^{1} x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Paso 2.3.3.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x {(x^{1 + 2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Paso 2.3.3.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{x {(x^{3} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x {(x^{3} + x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Paso 2.3.3.3

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$\frac{x {(x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Paso 2.3.3.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x {(x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Paso 2.3.4

Combina los términos opuestos en $x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1$ .

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Paso 2.3.4.1

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{x {(x^{3} + 0 - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Paso 2.3.4.2

Suma $x^{3}$ y $0$ .

$\frac{x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$

Paso 2.4

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.4.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1), 1$

Paso 2.4.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1)$

Paso 2.5

Multiplica cada término en $\frac{x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$ por $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.5.1

Multiplica cada término en $\frac{x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = 0$ por $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$\frac{x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) = 0 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))$

Paso 2.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.1

Cancela el factor común de $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

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Paso 2.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) = 0 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))$

Paso 2.5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4) = 0 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))$

Paso 2.5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{3} + x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 4 = 0 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))$

Paso 2.5.2.3

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.5.2.3.1

Mueve $x^{3}$ .

$x^{3} x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} + x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 4 = 0 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))$

Paso 2.5.2.3.2

Multiplica $x^{3}$ por $x$ .

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Paso 2.5.2.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{3} x^{1} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} + x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 4 = 0 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))$

Paso 2.5.2.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{3 + 1} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} + x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 4 = 0 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))$

Paso 2.5.2.3.3

Suma $3$ y $1$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} + x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 4 = 0 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))$

Paso 2.5.2.4

Mueve $- 4$ a la izquierda de $x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot (x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}) = 0 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))$

Paso 2.5.2.5

Elimina los paréntesis.

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))$

Paso 2.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.3.1

Expande $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0 (x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1)$

Paso 2.5.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.5.3.2.1

Combina los términos opuestos en $x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1$ .

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Paso 2.5.3.2.1.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot 1$ y $- 1 x$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0 (x \cdot x^{2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1)$

Paso 2.5.3.2.1.2

Resta $1 x$ de $1 x$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0 (x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} + 0 - 1 \cdot 1)$

Paso 2.5.3.2.1.3

Suma $x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2}$ y $0$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0 (x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1)$

Paso 2.5.3.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.3.2.2.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.5.3.2.2.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.5.3.2.2.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0 (x^{1} x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1)$

Paso 2.5.3.2.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0 (x^{1 + 2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1)$

Paso 2.5.3.2.2.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0 (x^{3} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1)$

Paso 2.5.3.2.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0 (x^{3} + x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot 1)$

Paso 2.5.3.2.2.3

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0 (x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1)$

Paso 2.5.3.2.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0 (x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1)$

Paso 2.5.3.2.3

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.5.3.2.3.1

Combina los términos opuestos en $x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1$ .

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Paso 2.5.3.2.3.1.1

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0 (x^{3} + 0 - 1)$

Paso 2.5.3.2.3.1.2

Suma $x^{3}$ y $0$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0 (x^{3} - 1)$

Paso 2.5.3.2.3.2

Multiplica $0$ por $x^{3} - 1$ .

$x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 2.6

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.6.1

Factoriza $x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ de $x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.6.1.1

Factoriza $x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ de $x^{4} {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3}) - 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 2.6.1.2

Factoriza $x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ de $- 4 x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3}) + x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4) = 0$

Paso 2.6.1.3

Factoriza $x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ de $x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3}) + x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4)$ .

$x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4) = 0$

Paso 2.6.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

${(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

$x^{3} - 4 = 0$

Paso 2.6.3

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.6.4

Establece ${(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.6.4.1

Establece ${(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ igual a $0$ .

${(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 2.6.4.2

Resuelve ${(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.6.4.2.1

Establece $x^{3} - 1$ igual a $0$ .

$x^{3} - 1 = 0$

Paso 2.6.4.2.2

Resuelve $x$

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Paso 2.6.4.2.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{3} = 1$

Paso 2.6.4.2.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} - 1 = 0$

Paso 2.6.4.2.2.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.6.4.2.2.3.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$x^{3} - 1^{3} = 0$

Paso 2.6.4.2.2.3.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 2.6.4.2.2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.6.4.2.2.3.3.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) = 0$

Paso 2.6.4.2.2.3.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

Paso 2.6.4.2.2.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Paso 2.6.4.2.2.5

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.6.4.2.2.5.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 2.6.4.2.2.5.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.6.4.2.2.6

Establece $x^{2} + x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.6.4.2.2.6.1

Establece $x^{2} + x + 1$ igual a $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Paso 2.6.4.2.2.6.2

Resuelve $x^{2} + x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.6.4.2.2.6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.6.4.2.2.6.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 1$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.4.2.2.6.2.3

Simplifica.

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Paso 2.6.4.2.2.6.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.4.2.2.6.2.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.4.2.2.6.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 2.6.4.2.2.6.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.4.2.2.6.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.4.2.2.6.2.3.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.4.2.2.6.2.3.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.4.2.2.6.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.4.2.2.6.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.4.2.2.6.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.6.4.2.2.6.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.6.4.2.2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.6.5

Establece $x^{3} - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.6.5.1

Establece $x^{3} - 4$ igual a $0$ .

$x^{3} - 4 = 0$

Paso 2.6.5.2

Resuelve $x^{3} - 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.6.5.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{3} = 4$

Paso 2.6.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{4}$

Paso 2.6.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $x {(x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 4) = 0$ verdadera.

$x = 0, 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \sqrt[3]{4}$