Matemática discreta Ejemplos

$3^{2 x + 1} - 50 = 100$

Paso 1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1

Suma $50$ a ambos lados de la ecuación.

$3^{2 x + 1} = 100 + 50$

Paso 1.2

Suma $100$ y $50$ .

$3^{2 x + 1} = 150$

Paso 2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (3^{2 x + 1}) = \ln (150)$

Paso 3

Expande $\ln (3^{2 x + 1})$ ; para ello, mueve $2 x + 1$ fuera del logaritmo.

$(2 x + 1) \ln (3) = \ln (150)$

Paso 4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1

Simplifica $(2 x + 1) \ln (3)$ .

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x \ln (3) + 1 \ln (3) = \ln (150)$

Paso 4.1.2

Multiplica $\ln (3)$ por $1$ .

$2 x \ln (3) + \ln (3) = \ln (150)$

Paso 5

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$2 x \ln (3) + \ln (3) - \ln (150) = 0$

Paso 6

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 x \ln (3) + \ln (\frac{3}{150}) = 0$

Paso 7

Cancela el factor común de $3$ y $150$ .

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Paso 7.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$2 x \ln (3) + \ln (\frac{3 (1)}{150}) = 0$

Paso 7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.1

Factoriza $3$ de $150$ .

$2 x \ln (3) + \ln (\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 50}) = 0$

Paso 7.2.2

Cancela el factor común.

$2 x \ln (3) + \ln (\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 50}) = 0$

Paso 7.2.3

Reescribe la expresión.

$2 x \ln (3) + \ln (\frac{1}{50}) = 0$

Paso 8

Resta $\ln (\frac{1}{50})$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x \ln (3) = - \ln (\frac{1}{50})$

Paso 9

Divide cada término en $2 x \ln (3) = - \ln (\frac{1}{50})$ por $2 \ln (3)$ y simplifica.

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Paso 9.1

Divide cada término en $2 x \ln (3) = - \ln (\frac{1}{50})$ por $2 \ln (3)$ .

$\frac{2 x \ln (3)}{2 \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{1}{50})}{2 \ln (3)}$

Paso 9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x \ln (3)}{2 \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{1}{50})}{2 \ln (3)}$

Paso 9.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{1}{50})}{2 \ln (3)}$

Paso 9.2.2

Cancela el factor común de $\ln (3)$ .

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Paso 9.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{1}{50})}{2 \ln (3)}$

Paso 9.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{1}{50})}{2 \ln (3)}$

Paso 9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{50})}{2 \ln (3)}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{50})}{2 \ln (3)}$

Forma decimal:

$x = 1.78043839 \dots$