Matemática discreta Ejemplos

$\sqrt{x + 150} - \sqrt{x + 55} = 5$

Paso 1

Suma $\sqrt{x + 55}$ a ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{x + 150} = 5 + \sqrt{x + 55}$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{x + 150}}^{2} = {(5 + \sqrt{x + 55})}^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 150}$ como ${(x + 150)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 150)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(5 + \sqrt{x + 55})}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${({(x + 150)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x + 150)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 150)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 + \sqrt{x + 55})}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x + 150)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 + \sqrt{x + 55})}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x + 150)}^{1} = {(5 + \sqrt{x + 55})}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica.

$x + 150 = {(5 + \sqrt{x + 55})}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${(5 + \sqrt{x + 55})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe ${(5 + \sqrt{x + 55})}^{2}$ como $(5 + \sqrt{x + 55}) (5 + \sqrt{x + 55})$ .

$x + 150 = (5 + \sqrt{x + 55}) (5 + \sqrt{x + 55})$

Paso 3.3.1.2

Expande $(5 + \sqrt{x + 55}) (5 + \sqrt{x + 55})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 150 = 5 (5 + \sqrt{x + 55}) + \sqrt{x + 55} (5 + \sqrt{x + 55})$

Paso 3.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 150 = 5 \cdot 5 + 5 \sqrt{x + 55} + \sqrt{x + 55} (5 + \sqrt{x + 55})$

Paso 3.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 150 = 5 \cdot 5 + 5 \sqrt{x + 55} + \sqrt{x + 55} \cdot 5 + \sqrt{x + 55} \sqrt{x + 55}$

Paso 3.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.3.1.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$x + 150 = 25 + 5 \sqrt{x + 55} + \sqrt{x + 55} \cdot 5 + \sqrt{x + 55} \sqrt{x + 55}$

Paso 3.3.1.3.1.2

Mueve $5$ a la izquierda de $\sqrt{x + 55}$ .

$x + 150 = 25 + 5 \sqrt{x + 55} + 5 \cdot \sqrt{x + 55} + \sqrt{x + 55} \sqrt{x + 55}$

Paso 3.3.1.3.1.3

Multiplica $\sqrt{x + 55} \sqrt{x + 55}$ .

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Paso 3.3.1.3.1.3.1

Eleva $\sqrt{x + 55}$ a la potencia de $1$ .

$x + 150 = 25 + 5 \sqrt{x + 55} + 5 \sqrt{x + 55} + {\sqrt{x + 55}}^{1} \sqrt{x + 55}$

Paso 3.3.1.3.1.3.2

Eleva $\sqrt{x + 55}$ a la potencia de $1$ .

$x + 150 = 25 + 5 \sqrt{x + 55} + 5 \sqrt{x + 55} + {\sqrt{x + 55}}^{1} {\sqrt{x + 55}}^{1}$

Paso 3.3.1.3.1.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x + 150 = 25 + 5 \sqrt{x + 55} + 5 \sqrt{x + 55} + {\sqrt{x + 55}}^{1 + 1}$

Paso 3.3.1.3.1.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$x + 150 = 25 + 5 \sqrt{x + 55} + 5 \sqrt{x + 55} + {\sqrt{x + 55}}^{2}$

Paso 3.3.1.3.1.4

Reescribe ${\sqrt{x + 55}}^{2}$ como $x + 55$ .

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Paso 3.3.1.3.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 55}$ como ${(x + 55)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x + 150 = 25 + 5 \sqrt{x + 55} + 5 \sqrt{x + 55} + {({(x + 55)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 3.3.1.3.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + 150 = 25 + 5 \sqrt{x + 55} + 5 \sqrt{x + 55} + {(x + 55)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 3.3.1.3.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x + 150 = 25 + 5 \sqrt{x + 55} + 5 \sqrt{x + 55} + {(x + 55)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.3.1.3.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.3.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$x + 150 = 25 + 5 \sqrt{x + 55} + 5 \sqrt{x + 55} + {(x + 55)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.3.1.3.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$x + 150 = 25 + 5 \sqrt{x + 55} + 5 \sqrt{x + 55} + {(x + 55)}^{1}$

Paso 3.3.1.3.1.4.5

Simplifica.

$x + 150 = 25 + 5 \sqrt{x + 55} + 5 \sqrt{x + 55} + x + 55$

Paso 3.3.1.3.2

Suma $25$ y $55$ .

$x + 150 = 80 + 5 \sqrt{x + 55} + 5 \sqrt{x + 55} + x$

Paso 3.3.1.3.3

Suma $5 \sqrt{x + 55}$ y $5 \sqrt{x + 55}$ .

$x + 150 = 80 + 10 \sqrt{x + 55} + x$

Paso 4

Resuelve $10 \sqrt{x + 55}$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $80 + 10 \sqrt{x + 55} + x = x + 150$ .

$80 + 10 \sqrt{x + 55} + x = x + 150$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que no contengan $10 \sqrt{x + 55}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Resta $80$ de ambos lados de la ecuación.

$10 \sqrt{x + 55} + x = x + 150 - 80$

Paso 4.2.2

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$10 \sqrt{x + 55} = x + 150 - 80 - x$

Paso 4.2.3

Combina los términos opuestos en $x + 150 - 80 - x$ .

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Paso 4.2.3.1

Resta $x$ de $x$ .

$10 \sqrt{x + 55} = 0 + 150 - 80$

Paso 4.2.3.2

Suma $0$ y $150$ .

$10 \sqrt{x + 55} = 150 - 80$

Paso 4.2.4

Resta $80$ de $150$ .

$10 \sqrt{x + 55} = 70$

Paso 5

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(10 \sqrt{x + 55})}^{2} = 70^{2}$

Paso 6

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 55}$ como ${(x + 55)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(10 {(x + 55)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 70^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Simplifica ${(10 {(x + 55)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.1

Aplica la regla del producto a $10 {(x + 55)}^{\frac{1}{2}}$ .

$10^{2} {({(x + 55)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 70^{2}$

Paso 6.2.1.2

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$100 {({(x + 55)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 70^{2}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(x + 55)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$100 {(x + 55)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 70^{2}$

Paso 6.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$100 {(x + 55)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 70^{2}$

Paso 6.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$100 {(x + 55)}^{1} = 70^{2}$

Paso 6.2.1.4

Simplifica.

$100 (x + 55) = 70^{2}$

Paso 6.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$100 x + 100 \cdot 55 = 70^{2}$

Paso 6.2.1.6

Multiplica $100$ por $55$ .

$100 x + 5500 = 70^{2}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Eleva $70$ a la potencia de $2$ .

$100 x + 5500 = 4900$

Paso 7

Resuelve $x$

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Paso 7.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.1.1

Resta $5500$ de ambos lados de la ecuación.

$100 x = 4900 - 5500$

Paso 7.1.2

Resta $5500$ de $4900$ .

$100 x = - 600$

Paso 7.2

Divide cada término en $100 x = - 600$ por $100$ y simplifica.

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Paso 7.2.1

Divide cada término en $100 x = - 600$ por $100$ .

$\frac{100 x}{100} = \frac{- 600}{100}$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.1

Cancela el factor común de $100$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{100 x}{100} = \frac{- 600}{100}$

Paso 7.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 600}{100}$

Paso 7.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.3.1

Divide $- 600$ por $100$ .

$x = - 6$