Matemática discreta Ejemplos

$\sqrt{3 x + 6} = \sqrt{x + 6} + 2$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{3 x + 6}}^{2} = {(\sqrt{x + 6} + 2)}^{2}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 x + 6}$ como ${(3 x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{x + 6} + 2)}^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${({(3 x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(3 x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x + 6} + 2)}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(3 x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x + 6} + 2)}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(3 x + 6)}^{1} = {(\sqrt{x + 6} + 2)}^{2}$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

$3 x + 6 = {(\sqrt{x + 6} + 2)}^{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica ${(\sqrt{x + 6} + 2)}^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe ${(\sqrt{x + 6} + 2)}^{2}$ como $(\sqrt{x + 6} + 2) (\sqrt{x + 6} + 2)$ .

$3 x + 6 = (\sqrt{x + 6} + 2) (\sqrt{x + 6} + 2)$

Paso 2.3.1.2

Expande $(\sqrt{x + 6} + 2) (\sqrt{x + 6} + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x + 6 = \sqrt{x + 6} (\sqrt{x + 6} + 2) + 2 (\sqrt{x + 6} + 2)$

Paso 2.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x + 6 = \sqrt{x + 6} \sqrt{x + 6} + \sqrt{x + 6} \cdot 2 + 2 (\sqrt{x + 6} + 2)$

Paso 2.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x + 6 = \sqrt{x + 6} \sqrt{x + 6} + \sqrt{x + 6} \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 6} + 2 \cdot 2$

Paso 2.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.3.1.1

Multiplica $\sqrt{x + 6} \sqrt{x + 6}$ .

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Paso 2.3.1.3.1.1.1

Eleva $\sqrt{x + 6}$ a la potencia de $1$ .

$3 x + 6 = {\sqrt{x + 6}}^{1} \sqrt{x + 6} + \sqrt{x + 6} \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 6} + 2 \cdot 2$

Paso 2.3.1.3.1.1.2

Eleva $\sqrt{x + 6}$ a la potencia de $1$ .

$3 x + 6 = {\sqrt{x + 6}}^{1} {\sqrt{x + 6}}^{1} + \sqrt{x + 6} \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 6} + 2 \cdot 2$

Paso 2.3.1.3.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 x + 6 = {\sqrt{x + 6}}^{1 + 1} + \sqrt{x + 6} \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 6} + 2 \cdot 2$

Paso 2.3.1.3.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$3 x + 6 = {\sqrt{x + 6}}^{2} + \sqrt{x + 6} \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 6} + 2 \cdot 2$

Paso 2.3.1.3.1.2

Reescribe ${\sqrt{x + 6}}^{2}$ como $x + 6$ .

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Paso 2.3.1.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 6}$ como ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 x + 6 = {({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x + 6} \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 6} + 2 \cdot 2$

Paso 2.3.1.3.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x + 6 = {(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x + 6} \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 6} + 2 \cdot 2$

Paso 2.3.1.3.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$3 x + 6 = {(x + 6)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x + 6} \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 6} + 2 \cdot 2$

Paso 2.3.1.3.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.3.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$3 x + 6 = {(x + 6)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x + 6} \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 6} + 2 \cdot 2$

Paso 2.3.1.3.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$3 x + 6 = {(x + 6)}^{1} + \sqrt{x + 6} \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 6} + 2 \cdot 2$

Paso 2.3.1.3.1.2.5

Simplifica.

$3 x + 6 = x + 6 + \sqrt{x + 6} \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 6} + 2 \cdot 2$

Paso 2.3.1.3.1.3

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{x + 6}$ .

$3 x + 6 = x + 6 + 2 \cdot \sqrt{x + 6} + 2 \sqrt{x + 6} + 2 \cdot 2$

Paso 2.3.1.3.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$3 x + 6 = x + 6 + 2 \sqrt{x + 6} + 2 \sqrt{x + 6} + 4$

Paso 2.3.1.3.2

Suma $6$ y $4$ .

$3 x + 6 = x + 10 + 2 \sqrt{x + 6} + 2 \sqrt{x + 6}$

Paso 2.3.1.3.3

Suma $2 \sqrt{x + 6}$ y $2 \sqrt{x + 6}$ .

$3 x + 6 = x + 10 + 4 \sqrt{x + 6}$

Paso 3

Resuelve $4 \sqrt{x + 6}$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $x + 10 + 4 \sqrt{x + 6} = 3 x + 6$ .

$x + 10 + 4 \sqrt{x + 6} = 3 x + 6$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que no contengan $4 \sqrt{x + 6}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$10 + 4 \sqrt{x + 6} = 3 x + 6 - x$

Paso 3.2.2

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$4 \sqrt{x + 6} = 3 x + 6 - x - 10$

Paso 3.2.3

Resta $x$ de $3 x$ .

$4 \sqrt{x + 6} = 2 x + 6 - 10$

Paso 3.2.4

Resta $10$ de $6$ .

$4 \sqrt{x + 6} = 2 x - 4$

Paso 4

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(4 \sqrt{x + 6})}^{2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Paso 5

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 6}$ como ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(4 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Simplifica ${(4 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1

Aplica la regla del producto a $4 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4^{2} {({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Paso 5.2.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$16 {({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Paso 5.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Paso 5.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$16 {(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Paso 5.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$16 {(x + 6)}^{1} = {(2 x - 4)}^{2}$

Paso 5.2.1.4

Simplifica.

$16 (x + 6) = {(2 x - 4)}^{2}$

Paso 5.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$16 x + 16 \cdot 6 = {(2 x - 4)}^{2}$

Paso 5.2.1.6

Multiplica $16$ por $6$ .

$16 x + 96 = {(2 x - 4)}^{2}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Simplifica ${(2 x - 4)}^{2}$ .

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Paso 5.3.1.1

Reescribe ${(2 x - 4)}^{2}$ como $(2 x - 4) (2 x - 4)$ .

$16 x + 96 = (2 x - 4) (2 x - 4)$

Paso 5.3.1.2

Expande $(2 x - 4) (2 x - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$16 x + 96 = 2 x (2 x - 4) - 4 (2 x - 4)$

Paso 5.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$16 x + 96 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x - 4)$

Paso 5.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$16 x + 96 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Paso 5.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$16 x + 96 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Paso 5.3.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$16 x + 96 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Paso 5.3.1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$16 x + 96 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Paso 5.3.1.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$16 x + 96 = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Paso 5.3.1.3.1.4

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$16 x + 96 = 4 x^{2} - 8 x - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Paso 5.3.1.3.1.5

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$16 x + 96 = 4 x^{2} - 8 x - 8 x - 4 \cdot - 4$

Paso 5.3.1.3.1.6

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$16 x + 96 = 4 x^{2} - 8 x - 8 x + 16$

Paso 5.3.1.3.2

Resta $8 x$ de $- 8 x$ .

$16 x + 96 = 4 x^{2} - 16 x + 16$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$4 x^{2} - 16 x + 16 = 16 x + 96$

Paso 6.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.2.1

Resta $16 x$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} - 16 x + 16 - 16 x = 96$

Paso 6.2.2

Resta $16 x$ de $- 16 x$ .

$4 x^{2} - 32 x + 16 = 96$

Paso 6.3

Resta $96$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} - 32 x + 16 - 96 = 0$

Paso 6.4

Resta $96$ de $16$ .

$4 x^{2} - 32 x - 80 = 0$

Paso 6.5

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.5.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2} - 32 x - 80$ .

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Paso 6.5.1.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2}$ .

$4 (x^{2}) - 32 x - 80 = 0$

Paso 6.5.1.2

Factoriza $4$ de $- 32 x$ .

$4 (x^{2}) + 4 (- 8 x) - 80 = 0$

Paso 6.5.1.3

Factoriza $4$ de $- 80$ .

$4 x^{2} + 4 (- 8 x) + 4 \cdot - 20 = 0$

Paso 6.5.1.4

Factoriza $4$ de $4 x^{2} + 4 (- 8 x)$ .

$4 (x^{2} - 8 x) + 4 \cdot - 20 = 0$

Paso 6.5.1.5

Factoriza $4$ de $4 (x^{2} - 8 x) + 4 \cdot - 20$ .

$4 (x^{2} - 8 x - 20) = 0$

Paso 6.5.2

Factoriza.

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Paso 6.5.2.1

Factoriza $x^{2} - 8 x - 20$ con el método AC.

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Paso 6.5.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 20$ y cuya suma es $- 8$ .

$- 10, 2$

Paso 6.5.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$4 ((x - 10) (x + 2)) = 0$

Paso 6.5.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$4 (x - 10) (x + 2) = 0$

Paso 6.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 10 = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 6.7

Establece $x - 10$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.7.1

Establece $x - 10$ igual a $0$ .

$x - 10 = 0$

Paso 6.7.2

Suma $10$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 10$

Paso 6.8

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.8.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 6.8.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 6.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 (x - 10) (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = 10, - 2$

Paso 7

Excluye las soluciones que no hagan que $\sqrt{3 x + 6} = \sqrt{x + 6} + 2$ sea verdadera.

$x = 10$