Matemática discreta Ejemplos

$\sqrt{2 x + 1} - \sqrt{9 + 4 x} = - 2$

Paso 1

Suma $\sqrt{9 + 4 x}$ a ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{2 x + 1} = - 2 + \sqrt{9 + 4 x}$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{2 x + 1}}^{2} = {(- 2 + \sqrt{9 + 4 x})}^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x + 1}$ como ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 + \sqrt{9 + 4 x})}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 + \sqrt{9 + 4 x})}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 + \sqrt{9 + 4 x})}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(2 x + 1)}^{1} = {(- 2 + \sqrt{9 + 4 x})}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica.

$2 x + 1 = {(- 2 + \sqrt{9 + 4 x})}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${(- 2 + \sqrt{9 + 4 x})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe ${(- 2 + \sqrt{9 + 4 x})}^{2}$ como $(- 2 + \sqrt{9 + 4 x}) (- 2 + \sqrt{9 + 4 x})$ .

$2 x + 1 = (- 2 + \sqrt{9 + 4 x}) (- 2 + \sqrt{9 + 4 x})$

Paso 3.3.1.2

Expande $(- 2 + \sqrt{9 + 4 x}) (- 2 + \sqrt{9 + 4 x})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x + 1 = - 2 (- 2 + \sqrt{9 + 4 x}) + \sqrt{9 + 4 x} (- 2 + \sqrt{9 + 4 x})$

Paso 3.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x + 1 = - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{9 + 4 x} + \sqrt{9 + 4 x} (- 2 + \sqrt{9 + 4 x})$

Paso 3.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x + 1 = - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{9 + 4 x} + \sqrt{9 + 4 x} \cdot - 2 + \sqrt{9 + 4 x} \sqrt{9 + 4 x}$

Paso 3.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.3.1.1

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} + \sqrt{9 + 4 x} \cdot - 2 + \sqrt{9 + 4 x} \sqrt{9 + 4 x}$

Paso 3.3.1.3.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $\sqrt{9 + 4 x}$ .

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \cdot \sqrt{9 + 4 x} + \sqrt{9 + 4 x} \sqrt{9 + 4 x}$

Paso 3.3.1.3.1.3

Multiplica $\sqrt{9 + 4 x} \sqrt{9 + 4 x}$ .

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Paso 3.3.1.3.1.3.1

Eleva $\sqrt{9 + 4 x}$ a la potencia de $1$ .

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {\sqrt{9 + 4 x}}^{1} \sqrt{9 + 4 x}$

Paso 3.3.1.3.1.3.2

Eleva $\sqrt{9 + 4 x}$ a la potencia de $1$ .

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {\sqrt{9 + 4 x}}^{1} {\sqrt{9 + 4 x}}^{1}$

Paso 3.3.1.3.1.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {\sqrt{9 + 4 x}}^{1 + 1}$

Paso 3.3.1.3.1.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {\sqrt{9 + 4 x}}^{2}$

Paso 3.3.1.3.1.4

Reescribe ${\sqrt{9 + 4 x}}^{2}$ como $9 + 4 x$ .

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Paso 3.3.1.3.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{9 + 4 x}$ como ${(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {({(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 3.3.1.3.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 3.3.1.3.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {(9 + 4 x)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.3.1.3.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.3.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {(9 + 4 x)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.3.1.3.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {(9 + 4 x)}^{1}$

Paso 3.3.1.3.1.4.5

Simplifica.

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + 9 + 4 x$

Paso 3.3.1.3.2

Suma $4$ y $9$ .

$2 x + 1 = 13 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + 4 x$

Paso 3.3.1.3.3

Resta $2 \sqrt{9 + 4 x}$ de $- 2 \sqrt{9 + 4 x}$ .

$2 x + 1 = 13 - 4 \sqrt{9 + 4 x} + 4 x$

Paso 4

Resuelve $- 4 \sqrt{9 + 4 x}$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $13 - 4 \sqrt{9 + 4 x} + 4 x = 2 x + 1$ .

$13 - 4 \sqrt{9 + 4 x} + 4 x = 2 x + 1$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que no contengan $- 4 \sqrt{9 + 4 x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Resta $13$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 \sqrt{9 + 4 x} + 4 x = 2 x + 1 - 13$

Paso 4.2.2

Resta $4 x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 \sqrt{9 + 4 x} = 2 x + 1 - 13 - 4 x$

Paso 4.2.3

Resta $4 x$ de $2 x$ .

$- 4 \sqrt{9 + 4 x} = - 2 x + 1 - 13$

Paso 4.2.4

Resta $13$ de $1$ .

$- 4 \sqrt{9 + 4 x} = - 2 x - 12$

Paso 5

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(- 4 \sqrt{9 + 4 x})}^{2} = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Paso 6

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{9 + 4 x}$ como ${(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4 {(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Simplifica ${(- 4 {(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- 4 {(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4)}^{2} {({(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Paso 6.2.1.2

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$16 {({(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Paso 6.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$16 {(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Paso 6.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$16 {(9 + 4 x)}^{1} = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Paso 6.2.1.4

Simplifica.

$16 (9 + 4 x) = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Paso 6.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$16 \cdot 9 + 16 (4 x) = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Paso 6.2.1.6

Multiplica.

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Paso 6.2.1.6.1

Multiplica $16$ por $9$ .

$144 + 16 (4 x) = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Paso 6.2.1.6.2

Multiplica $4$ por $16$ .

$144 + 64 x = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Simplifica ${(- 2 x - 12)}^{2}$ .

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Paso 6.3.1.1

Reescribe ${(- 2 x - 12)}^{2}$ como $(- 2 x - 12) (- 2 x - 12)$ .

$144 + 64 x = (- 2 x - 12) (- 2 x - 12)$

Paso 6.3.1.2

Expande $(- 2 x - 12) (- 2 x - 12)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$144 + 64 x = - 2 x (- 2 x - 12) - 12 (- 2 x - 12)$

Paso 6.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$144 + 64 x = - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 12 - 12 (- 2 x - 12)$

Paso 6.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$144 + 64 x = - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 12 - 12 (- 2 x) - 12 \cdot - 12$

Paso 6.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$144 + 64 x = - 2 \cdot - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12 - 12 (- 2 x) - 12 \cdot - 12$

Paso 6.3.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$144 + 64 x = - 2 \cdot - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 12 - 12 (- 2 x) - 12 \cdot - 12$

Paso 6.3.1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$144 + 64 x = - 2 \cdot - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 12 - 12 (- 2 x) - 12 \cdot - 12$

Paso 6.3.1.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$144 + 64 x = 4 x^{2} - 2 x \cdot - 12 - 12 (- 2 x) - 12 \cdot - 12$

Paso 6.3.1.3.1.4

Multiplica $- 12$ por $- 2$ .

$144 + 64 x = 4 x^{2} + 24 x - 12 (- 2 x) - 12 \cdot - 12$

Paso 6.3.1.3.1.5

Multiplica $- 2$ por $- 12$ .

$144 + 64 x = 4 x^{2} + 24 x + 24 x - 12 \cdot - 12$

Paso 6.3.1.3.1.6

Multiplica $- 12$ por $- 12$ .

$144 + 64 x = 4 x^{2} + 24 x + 24 x + 144$

Paso 6.3.1.3.2

Suma $24 x$ y $24 x$ .

$144 + 64 x = 4 x^{2} + 48 x + 144$

Paso 7

Resuelve $x$

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Paso 7.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$4 x^{2} + 48 x + 144 = 144 + 64 x$

Paso 7.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.2.1

Resta $64 x$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} + 48 x + 144 - 64 x = 144$

Paso 7.2.2

Resta $64 x$ de $48 x$ .

$4 x^{2} - 16 x + 144 = 144$

Paso 7.3

Resta $144$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} - 16 x + 144 - 144 = 0$

Paso 7.4

Combina los términos opuestos en $4 x^{2} - 16 x + 144 - 144$ .

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Paso 7.4.1

Resta $144$ de $144$ .

$4 x^{2} - 16 x + 0 = 0$

Paso 7.4.2

Suma $4 x^{2} - 16 x$ y $0$ .

$4 x^{2} - 16 x = 0$

Paso 7.5

Factoriza $4 x$ de $4 x^{2} - 16 x$ .

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Paso 7.5.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{2}$ .

$4 x (x) - 16 x = 0$

Paso 7.5.2

Factoriza $4 x$ de $- 16 x$ .

$4 x (x) + 4 x (- 4) = 0$

Paso 7.5.3

Factoriza $4 x$ de $4 x (x) + 4 x (- 4)$ .

$4 x (x - 4) = 0$

Paso 7.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Paso 7.7

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 7.8

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.8.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 7.8.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 7.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 x (x - 4) = 0$ verdadera.

$x = 0, 4$