Matemática discreta Ejemplos

$2 z^{\frac{13}{5}} - 14 z^{\frac{8}{5}} + 12 z^{\frac{3}{5}} = 0$

Paso 1

Obtén un factor común $z^{\frac{3}{5}}$ que esté presente en cada término.

$2 {(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{13}{3}} - 14 {(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{8}{3}} + 12 z^{\frac{3}{5}}$

Paso 2

Sustituye $u$ por $z^{\frac{3}{5}}$ .

$2 {(u)}^{\frac{13}{3}} - 14 {(u)}^{\frac{8}{3}} + 12 (u) = 0$

Paso 3

Resuelve $u$

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Paso 3.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Factoriza $2 u$ de $2 u^{\frac{13}{3}} - 14 u^{\frac{8}{3}} + 12 u$ .

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Paso 3.1.1.1

Factoriza $2 u$ de $2 u^{\frac{13}{3}}$ .

$2 u (u^{\frac{10}{3}}) - 14 u^{\frac{8}{3}} + 12 u = 0$

Paso 3.1.1.2

Factoriza $2 u$ de $- 14 u^{\frac{8}{3}}$ .

$2 u (u^{\frac{10}{3}}) + 2 u (- 7 u^{\frac{5}{3}}) + 12 u = 0$

Paso 3.1.1.3

Factoriza $2 u$ de $12 u$ .

$2 u (u^{\frac{10}{3}}) + 2 u (- 7 u^{\frac{5}{3}}) + 2 u (6) = 0$

Paso 3.1.1.4

Factoriza $2 u$ de $2 u (u^{\frac{10}{3}}) + 2 u (- 7 u^{\frac{5}{3}})$ .

$2 u (u^{\frac{10}{3}} - 7 u^{\frac{5}{3}}) + 2 u (6) = 0$

Paso 3.1.1.5

Factoriza $2 u$ de $2 u (u^{\frac{10}{3}} - 7 u^{\frac{5}{3}}) + 2 u (6)$ .

$2 u (u^{\frac{10}{3}} - 7 u^{\frac{5}{3}} + 6) = 0$

Paso 3.1.2

Reescribe $u^{\frac{10}{3}}$ como ${(u^{\frac{5}{3}})}^{2}$ .

$2 u ({(u^{\frac{5}{3}})}^{2} - 7 u^{\frac{5}{3}} + 6) = 0$

Paso 3.1.3

Sea $u = u^{\frac{5}{3}}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $u^{\frac{5}{3}}$ .

$2 u (u^{2} - 7 u + 6) = 0$

Paso 3.1.4

Factoriza $u^{2} - 7 u + 6$ con el método AC.

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Paso 3.1.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $6$ y cuya suma es $- 7$ .

$- 6, - 1$

Paso 3.1.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$2 u ((u - 6) (u - 1)) = 0$

Paso 3.1.5

Factoriza.

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Paso 3.1.5.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $u^{\frac{5}{3}}$ .

$2 u ((u^{\frac{5}{3}} - 6) (u^{\frac{5}{3}} - 1)) = 0$

Paso 3.1.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 u (u^{\frac{5}{3}} - 6) (u^{\frac{5}{3}} - 1) = 0$

Paso 3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u = 0$

$u^{\frac{5}{3}} - 6 = 0$

$u^{\frac{5}{3}} - 1 = 0$

Paso 3.3

Establece $u$ igual a $0$ .

$u = 0$

Paso 3.4

Establece $u^{\frac{5}{3}} - 6$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 3.4.1

Establece $u^{\frac{5}{3}} - 6$ igual a $0$ .

$u^{\frac{5}{3}} - 6 = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $u^{\frac{5}{3}} - 6 = 0$ en $u$ .

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Paso 3.4.2.1

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$u^{\frac{5}{3}} = 6$

Paso 3.4.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{3}{5}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(u^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = 6^{\frac{3}{5}}$

Paso 3.4.2.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.3.1

Simplifica ${(u^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

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Paso 3.4.2.3.1.1

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

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Paso 3.4.2.3.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = 6^{\frac{3}{5}}$

Paso 3.4.2.3.1.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.4.2.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$u^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = 6^{\frac{3}{5}}$

Paso 3.4.2.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$u^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{\frac{3}{5}}$

Paso 3.4.2.3.1.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.2.3.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$u^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{\frac{3}{5}}$

Paso 3.4.2.3.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$u^{1} = 6^{\frac{3}{5}}$

Paso 3.4.2.3.1.2

Simplifica.

$u = 6^{\frac{3}{5}}$

Paso 3.5

Establece $u^{\frac{5}{3}} - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 3.5.1

Establece $u^{\frac{5}{3}} - 1$ igual a $0$ .

$u^{\frac{5}{3}} - 1 = 0$

Paso 3.5.2

Resuelve $u^{\frac{5}{3}} - 1 = 0$ en $u$ .

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Paso 3.5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$u^{\frac{5}{3}} = 1$

Paso 3.5.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{3}{5}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(u^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = 1^{\frac{3}{5}}$

Paso 3.5.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 3.5.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.3.1.1

Simplifica ${(u^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

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Paso 3.5.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

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Paso 3.5.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = 1^{\frac{3}{5}}$

Paso 3.5.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.5.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$u^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = 1^{\frac{3}{5}}$

Paso 3.5.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$u^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{\frac{3}{5}}$

Paso 3.5.2.3.1.1.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.5.2.3.1.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$u^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{\frac{3}{5}}$

Paso 3.5.2.3.1.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$u^{1} = 1^{\frac{3}{5}}$

Paso 3.5.2.3.1.1.2

Simplifica.

$u = 1^{\frac{3}{5}}$

Paso 3.5.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.3.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u = 1$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 u (u^{\frac{5}{3}} - 6) (u^{\frac{5}{3}} - 1) = 0$ verdadera.

$u = 0, 6^{\frac{3}{5}}, 1$

Paso 4

Sustituye $z$ por $u$ .

$z^{\frac{3}{5}} = 0, 6^{\frac{3}{5}}, 1$

Paso 5

Resuelve para $z^{\frac{3}{5}} = 0$ en $z$ .

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Paso 5.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{5}{3}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}} = 0^{\frac{5}{3}}$

Paso 5.2

Simplifica el exponente.

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Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.1

Simplifica ${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ .

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Paso 5.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = 0^{\frac{5}{3}}$

Paso 5.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$z^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = 0^{\frac{5}{3}}$

Paso 5.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{\frac{5}{3}}$

Paso 5.2.1.1.1.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.1.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{\frac{5}{3}}$

Paso 5.2.1.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$z^{1} = 0^{\frac{5}{3}}$

Paso 5.2.1.1.2

Simplifica.

$z = 0^{\frac{5}{3}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica $0^{\frac{5}{3}}$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.2.1.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$z = {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}$

Paso 5.2.2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z = 0^{3 (\frac{5}{3})}$

Paso 5.2.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$z = 0^{3 (\frac{5}{3})}$

Paso 5.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$z = 0^{5}$

Paso 5.2.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$z = 0$

Paso 6

Como los exponentes son iguales, las bases de los exponentes en ambos lados de la ecuación deben ser iguales.

$z = 6$

Paso 7

Resuelve para $z^{\frac{3}{5}} = 1$ en $z$ .

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Paso 7.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{5}{3}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}} = 1^{\frac{5}{3}}$

Paso 7.2

Simplifica el exponente.

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Paso 7.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1.1

Simplifica ${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ .

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Paso 7.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ .

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Paso 7.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = 1^{\frac{5}{3}}$

Paso 7.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$z^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = 1^{\frac{5}{3}}$

Paso 7.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 1^{\frac{5}{3}}$

Paso 7.2.1.1.1.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 7.2.1.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 1^{\frac{5}{3}}$

Paso 7.2.1.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$z^{1} = 1^{\frac{5}{3}}$

Paso 7.2.1.1.2

Simplifica.

$z = 1^{\frac{5}{3}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$z = 1$

Paso 8

Enumera todas las soluciones.

$z = 0, 6, 1$