Matemática discreta Ejemplos

$z^{2} - 2 i z + 1 = 0$

Paso 1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 2 i$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $z$ .

$\frac{2 i \pm \sqrt{{(- 2 i)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Aplica la regla del producto a $- 2 i$ .

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} i^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{4 i^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.3

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{4 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.4

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{- 4 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.5

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.5.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{- 4 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.5.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{- 4 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6

Resta $4$ de $- 4$ .

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.7

Reescribe $- 8$ como $- 1 (8)$ .

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.8

Reescribe $\sqrt{- 1 (8)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.9

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$z = \frac{2 i \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.10

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.10.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$z = \frac{2 i \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.10.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$z = \frac{2 i \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.11

Retira los términos de abajo del radical.

$z = \frac{2 i \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.12

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$z = \frac{2 i \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$z = \frac{2 i \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Paso 3.3

Simplifica $\frac{2 i \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$z = i \pm i \sqrt{2}$

Paso 4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$z = i + i \sqrt{2}, i - i \sqrt{2}$