Matemática discreta Ejemplos

$0 = \frac{- 14000}{1 + R} + \frac{9000}{{(1 + R)}^{2}} + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $\frac{- 14000}{1 + R} + \frac{9000}{{(1 + R)}^{2}} + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} = 0$ .

$\frac{- 14000}{1 + R} + \frac{9000}{{(1 + R)}^{2}} + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} = 0$

Paso 2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{14000}{1 + R} + \frac{9000}{{(1 + R)}^{2}} + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} = 0$

Paso 3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1 + R, {(1 + R)}^{2}, {(1 + R)}^{3}, 1$

Paso 3.2

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 3.3

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 3.4

El MCM de $1, 1, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

Paso 3.5

El factor para $1 + R$ es $1 + R$ en sí mismo.

$(1 + R) = 1 + R$

$(1 + R)$ ocurre $1$ vez.

Paso 3.6

Los factores para $1 + R$ son $(1 + R) \cdot (1 + R)$ , que es $1 + R$ multiplicado por sí mismo $2$ veces.

$(1 + R) = (1 + R) \cdot (1 + R)$

$(1 + R)$ ocurre $2$ veces.

Paso 3.7

Los factores para $1 + R$ son $(1 + R) \cdot (1 + R) \cdot (1 + R)$ , que es $1 + R$ multiplicado por sí mismo $3$ veces.

$(1 + R) = (1 + R) \cdot (1 + R) \cdot (1 + R)$

$(1 + R)$ ocurre $3$ veces.

Paso 3.8

El MCM de $1 + R, {(1 + R)}^{2}, {(1 + R)}^{3}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

${(1 + R)}^{3}$

Paso 4

Multiplica cada término en $- \frac{14000}{1 + R} + \frac{9000}{{(1 + R)}^{2}} + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} = 0$ por ${(1 + R)}^{3}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 4.1

Multiplica cada término en $- \frac{14000}{1 + R} + \frac{9000}{{(1 + R)}^{2}} + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} = 0$ por ${(1 + R)}^{3}$ .

$- \frac{14000}{1 + R} {(1 + R)}^{3} + \frac{9000}{{(1 + R)}^{2}} {(1 + R)}^{3} + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} {(1 + R)}^{3} = 0 {(1 + R)}^{3}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común de $1 + R$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{14000}{1 + R}$ al numerador.

$\frac{- 14000}{1 + R} {(1 + R)}^{3} + \frac{9000}{{(1 + R)}^{2}} {(1 + R)}^{3} + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} {(1 + R)}^{3} = 0 {(1 + R)}^{3}$

Paso 4.2.1.1.2

Factoriza $1 + R$ de ${(1 + R)}^{3}$ .

$\frac{- 14000}{1 + R} ((1 + R) {(1 + R)}^{2}) + \frac{9000}{{(1 + R)}^{2}} {(1 + R)}^{3} + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} {(1 + R)}^{3} = 0 {(1 + R)}^{3}$

Paso 4.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{- 14000}{1 + R} ((1 + R) {(1 + R)}^{2}) + \frac{9000}{{(1 + R)}^{2}} {(1 + R)}^{3} + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} {(1 + R)}^{3} = 0 {(1 + R)}^{3}$

Paso 4.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- 14000 {(1 + R)}^{2} + \frac{9000}{{(1 + R)}^{2}} {(1 + R)}^{3} + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} {(1 + R)}^{3} = 0 {(1 + R)}^{3}$

Paso 4.2.1.2

Cancela el factor común de ${(1 + R)}^{2}$ .

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Paso 4.2.1.2.1

Factoriza ${(1 + R)}^{2}$ de ${(1 + R)}^{3}$ .

$- 14000 {(1 + R)}^{2} + \frac{9000}{{(1 + R)}^{2}} ({(1 + R)}^{2} (1 + R)) + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} {(1 + R)}^{3} = 0 {(1 + R)}^{3}$

Paso 4.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$- 14000 {(1 + R)}^{2} + \frac{9000}{{(1 + R)}^{2}} ({(1 + R)}^{2} (1 + R)) + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} {(1 + R)}^{3} = 0 {(1 + R)}^{3}$

Paso 4.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$- 14000 {(1 + R)}^{2} + 9000 (1 + R) + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} {(1 + R)}^{3} = 0 {(1 + R)}^{3}$

Paso 4.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 14000 {(1 + R)}^{2} + 9000 \cdot 1 + 9000 R + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} {(1 + R)}^{3} = 0 {(1 + R)}^{3}$

Paso 4.2.1.4

Multiplica $9000$ por $1$ .

$- 14000 {(1 + R)}^{2} + 9000 + 9000 R + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} {(1 + R)}^{3} = 0 {(1 + R)}^{3}$

Paso 4.2.1.5

Cancela el factor común de ${(1 + R)}^{3}$ .

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Paso 4.2.1.5.1

Cancela el factor común.

$- 14000 {(1 + R)}^{2} + 9000 + 9000 R + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} {(1 + R)}^{3} = 0 {(1 + R)}^{3}$

Paso 4.2.1.5.2

Reescribe la expresión.

$- 14000 {(1 + R)}^{2} + 9000 + 9000 R + 10000 = 0 {(1 + R)}^{3}$

Paso 4.2.2

Suma $9000$ y $10000$ .

$- 14000 {(1 + R)}^{2} + 9000 R + 19000 = 0 {(1 + R)}^{3}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Multiplica $0$ por ${(1 + R)}^{3}$ .

$- 14000 {(1 + R)}^{2} + 9000 R + 19000 = 0$

Paso 5

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Factoriza $- 1000$ de $- 14000 {(1 + R)}^{2} + 9000 R + 19000$ .

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Paso 5.1.1.1

Reordena $1$ y $R$ .

$- 14000 {(R + 1)}^{2} + 9000 R + 19000 = 0$

Paso 5.1.1.2

Factoriza $- 1000$ de $- 14000 {(R + 1)}^{2}$ .

$- 1000 (14 {(R + 1)}^{2}) + 9000 R + 19000 = 0$

Paso 5.1.1.3

Factoriza $- 1000$ de $9000 R$ .

$- 1000 (14 {(R + 1)}^{2}) - 1000 (- 9 R) + 19000 = 0$

Paso 5.1.1.4

Factoriza $- 1000$ de $19000$ .

$- 1000 (14 {(R + 1)}^{2}) - 1000 (- 9 R) - 1000 \cdot - 19 = 0$

Paso 5.1.1.5

Factoriza $- 1000$ de $- 1000 (14 {(R + 1)}^{2}) - 1000 (- 9 R)$ .

$- 1000 (14 {(R + 1)}^{2} - 9 R) - 1000 \cdot - 19 = 0$

Paso 5.1.1.6

Factoriza $- 1000$ de $- 1000 (14 {(R + 1)}^{2} - 9 R) - 1000 (- 19)$ .

$- 1000 (14 {(R + 1)}^{2} - 9 R - 19) = 0$

Paso 5.1.2

Reescribe ${(R + 1)}^{2}$ como $(R + 1) (R + 1)$ .

$- 1000 (14 ((R + 1) (R + 1)) - 9 R - 19) = 0$

Paso 5.1.3

Expande $(R + 1) (R + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1000 (14 (R (R + 1) + 1 (R + 1)) - 9 R - 19) = 0$

Paso 5.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1000 (14 (R \cdot R + R \cdot 1 + 1 (R + 1)) - 9 R - 19) = 0$

Paso 5.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1000 (14 (R \cdot R + R \cdot 1 + 1 R + 1 \cdot 1) - 9 R - 19) = 0$

Paso 5.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.4.1.1

Multiplica $R$ por $R$ .

$- 1000 (14 (R^{2} + R \cdot 1 + 1 R + 1 \cdot 1) - 9 R - 19) = 0$

Paso 5.1.4.1.2

Multiplica $R$ por $1$ .

$- 1000 (14 (R^{2} + R + 1 R + 1 \cdot 1) - 9 R - 19) = 0$

Paso 5.1.4.1.3

Multiplica $R$ por $1$ .

$- 1000 (14 (R^{2} + R + R + 1 \cdot 1) - 9 R - 19) = 0$

Paso 5.1.4.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$- 1000 (14 (R^{2} + R + R + 1) - 9 R - 19) = 0$

Paso 5.1.4.2

Suma $R$ y $R$ .

$- 1000 (14 (R^{2} + 2 R + 1) - 9 R - 19) = 0$

Paso 5.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1000 (14 R^{2} + 14 (2 R) + 14 \cdot 1 - 9 R - 19) = 0$

Paso 5.1.6

Simplifica.

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Paso 5.1.6.1

Multiplica $2$ por $14$ .

$- 1000 (14 R^{2} + 28 R + 14 \cdot 1 - 9 R - 19) = 0$

Paso 5.1.6.2

Multiplica $14$ por $1$ .

$- 1000 (14 R^{2} + 28 R + 14 - 9 R - 19) = 0$

Paso 5.1.7

Resta $9 R$ de $28 R$ .

$- 1000 (14 R^{2} + 19 R + 14 - 19) = 0$

Paso 5.1.8

Resta $19$ de $14$ .

$- 1000 (14 R^{2} + 19 R - 5) = 0$

Paso 5.2

Divide cada término en $- 1000 (14 R^{2} + 19 R - 5) = 0$ por $- 1000$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $- 1000 (14 R^{2} + 19 R - 5) = 0$ por $- 1000$ .

$\frac{- 1000 (14 R^{2} + 19 R - 5)}{- 1000} = \frac{0}{- 1000}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $- 1000$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 1000 (14 R^{2} + 19 R - 5)}{- 1000} = \frac{0}{- 1000}$

Paso 5.2.2.1.2

Divide $14 R^{2} + 19 R - 5$ por $1$ .

$14 R^{2} + 19 R - 5 = \frac{0}{- 1000}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Divide $0$ por $- 1000$ .

$14 R^{2} + 19 R - 5 = 0$

Paso 5.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5.4

Sustituye los valores $a = 14$ , $b = 19$ y $c = - 5$ en la fórmula cuadrática y resuelve $R$ .

$\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (14 \cdot - 5)}}{2 \cdot 14}$

Paso 5.5

Simplifica.

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Paso 5.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.1.1

Eleva $19$ a la potencia de $2$ .

$R = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 14 \cdot - 5}}{2 \cdot 14}$

Paso 5.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 14 \cdot - 5$ .

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Paso 5.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $14$ .

$R = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 56 \cdot - 5}}{2 \cdot 14}$

Paso 5.5.1.2.2

Multiplica $- 56$ por $- 5$ .

$R = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 280}}{2 \cdot 14}$

Paso 5.5.1.3

Suma $361$ y $280$ .

$R = \frac{- 19 \pm \sqrt{641}}{2 \cdot 14}$

Paso 5.5.2

Multiplica $2$ por $14$ .

$R = \frac{- 19 \pm \sqrt{641}}{28}$

Paso 5.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$R = - \frac{19 - \sqrt{641}}{28}, - \frac{19 + \sqrt{641}}{28}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$R = - \frac{19 - \sqrt{641}}{28}, - \frac{19 + \sqrt{641}}{28}$

Forma decimal:

$R = 0.22564206 \dots, - 1.58278492 \dots$