Matemática discreta Ejemplos

$5000 = 8000 {(1 + 6 %)}^{n}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $8000 {(1 + 6 %)}^{n} = 5000$ .

$8000 {(1 + 6 %)}^{n} = 5000$

Paso 2

Divide cada término en $8000 {(1 + 6 %)}^{n} = 5000$ por $8000$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $8000 {(1 + 6 %)}^{n} = 5000$ por $8000$ .

$\frac{8000 {(1 + 6 %)}^{n}}{8000} = \frac{5000}{8000}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $8000$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8000 {(1 + 6 %)}^{n}}{8000} = \frac{5000}{8000}$

Paso 2.2.1.2

Divide ${(1 + 6 %)}^{n}$ por $1$ .

${(1 + 6 %)}^{n} = \frac{5000}{8000}$

Paso 2.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.2.1

Convierte $6 %$ a un decimal.

${(1 + 0.06)}^{n} = \frac{5000}{8000}$

Paso 2.2.2.2

Suma $1$ y $0.06$ .

${1.06}^{n} = \frac{5000}{8000}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común de $5000$ y $8000$ .

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Paso 2.3.1.1

Factoriza $1000$ de $5000$ .

${1.06}^{n} = \frac{1000 (5)}{8000}$

Paso 2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.1.2.1

Factoriza $1000$ de $8000$ .

${1.06}^{n} = \frac{1000 \cdot 5}{1000 \cdot 8}$

Paso 2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

${1.06}^{n} = \frac{1000 \cdot 5}{1000 \cdot 8}$

Paso 2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

${1.06}^{n} = \frac{5}{8}$

Paso 3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln ({1.06}^{n}) = \ln (\frac{5}{8})$

Paso 4

Expande $\ln ({1.06}^{n})$ ; para ello, mueve $n$ fuera del logaritmo.

$n \ln (1.06) = \ln (\frac{5}{8})$

Paso 5

Divide cada término en $n \ln (1.06) = \ln (\frac{5}{8})$ por $\ln (1.06)$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $n \ln (1.06) = \ln (\frac{5}{8})$ por $\ln (1.06)$ .

$\frac{n \ln (1.06)}{\ln (1.06)} = \frac{\ln (\frac{5}{8})}{\ln (1.06)}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $\ln (1.06)$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{n \ln (1.06)}{\ln (1.06)} = \frac{\ln (\frac{5}{8})}{\ln (1.06)}$

Paso 5.2.1.2

Divide $n$ por $1$ .

$n = \frac{\ln (\frac{5}{8})}{\ln (1.06)}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$n = \frac{\ln (\frac{5}{8})}{\ln (1.06)}$

Forma decimal:

$n = - 8.06611354 \dots$