Matemática discreta Ejemplos

$x = \frac{x^{2} - 36}{x^{2} - 9 x + 18}$

Paso 1

Factoriza cada término.

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Paso 1.1

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$x = \frac{x^{2} - 6^{2}}{x^{2} - 9 x + 18}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 6$ .

$x = \frac{(x + 6) (x - 6)}{x^{2} - 9 x + 18}$

Paso 1.3

Factoriza $x^{2} - 9 x + 18$ con el método AC.

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Paso 1.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $18$ y cuya suma es $- 9$ .

$- 6, - 3$

Paso 1.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$x = \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x - 6) (x - 3)}$

Paso 1.4

Reduce la expresión $\frac{(x + 6) (x - 6)}{(x - 6) (x - 3)}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x - 6) (x - 3)}$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \frac{x + 6}{x - 3}$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, x - 3$

Paso 2.2

Elimina los paréntesis.

$1, x - 3$

Paso 2.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x - 3$

Paso 3

Multiplica cada término en $x = \frac{x + 6}{x - 3}$ por $x - 3$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $x = \frac{x + 6}{x - 3}$ por $x - 3$ .

$x (x - 3) = \frac{x + 6}{x - 3} (x - 3)$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 3 = \frac{x + 6}{x - 3} (x - 3)$

Paso 3.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.2.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 3 = \frac{x + 6}{x - 3} (x - 3)$

Paso 3.2.2.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} - 3 x = \frac{x + 6}{x - 3} (x - 3)$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común.

$x^{2} - 3 x = \frac{x + 6}{x - 3} (x - 3)$

Paso 3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} - 3 x = x + 6$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 3 x - x = 6$

Paso 4.1.2

Resta $x$ de $- 3 x$ .

$x^{2} - 4 x = 6$

Paso 4.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 4 x - 6 = 0$

Paso 4.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.4

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 4$ y $c = - 6$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5

Simplifica.

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Paso 4.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

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Paso 4.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 6$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 24}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.3

Suma $16$ y $24$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.4

Reescribe $40$ como $2^{2} \cdot 10$ .

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Paso 4.5.1.4.1

Factoriza $4$ de $40$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{2}$

Paso 4.5.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{10}$

Paso 4.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 2 + \sqrt{10}, 2 - \sqrt{10}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = 2 + \sqrt{10}, 2 - \sqrt{10}$

Forma decimal:

$x = 5.16227766 \dots, - 1.16227766 \dots$