Matemática discreta Ejemplos

$\frac{x + 1}{2 - x} < \frac{x}{33 + x}$

Paso 1

Resta $\frac{x}{33 + x}$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{x + 1}{2 - x} - \frac{x}{33 + x} < 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{x + 1}{2 - x} - \frac{x}{33 + x}$ .

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Paso 2.1

Para escribir $\frac{x + 1}{2 - x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{33 + x}{33 + x}$ .

$\frac{x + 1}{2 - x} \cdot \frac{33 + x}{33 + x} - \frac{x}{33 + x} < 0$

Paso 2.2

Para escribir $- \frac{x}{33 + x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{x + 1}{2 - x} \cdot \frac{33 + x}{33 + x} - \frac{x}{33 + x} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} < 0$

Paso 2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(2 - x) (33 + x)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.1

Multiplica $\frac{x + 1}{2 - x}$ por $\frac{33 + x}{33 + x}$ .

$\frac{(x + 1) (33 + x)}{(2 - x) (33 + x)} - \frac{x}{33 + x} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} < 0$

Paso 2.3.2

Multiplica $\frac{x}{33 + x}$ por $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{(x + 1) (33 + x)}{(2 - x) (33 + x)} - \frac{x (2 - x)}{(33 + x) (2 - x)} < 0$

Paso 2.3.3

Reordena los factores de $(33 + x) (2 - x)$ .

$\frac{(x + 1) (33 + x)}{(2 - x) (33 + x)} - \frac{x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x + 1) (33 + x) - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Expande $(x + 1) (33 + x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (33 + x) + 1 (33 + x) - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Paso 2.5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot 33 + x \cdot x + 1 (33 + x) - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Paso 2.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot 33 + x \cdot x + 1 \cdot 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Paso 2.5.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.2.1.1

Mueve $33$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{33 \cdot x + x \cdot x + 1 \cdot 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Paso 2.5.2.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{33 x + x^{2} + 1 \cdot 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Paso 2.5.2.1.3

Multiplica $33$ por $1$ .

$\frac{33 x + x^{2} + 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Paso 2.5.2.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{33 x + x^{2} + 33 + x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Paso 2.5.2.2

Suma $33 x$ y $x$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Paso 2.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - x \cdot 2 - x (- x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Paso 2.5.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - x (- x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Paso 2.5.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Paso 2.5.6

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.6.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.5.6.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Paso 2.5.6.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Paso 2.5.6.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x + 1 x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Paso 2.5.6.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x + x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Paso 2.5.7

Resta $2 x$ de $34 x$ .

$\frac{32 x + x^{2} + 33 + x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Paso 2.5.8

Suma $x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{32 x + 2 x^{2} + 33}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Paso 2.5.9

Reordena los términos.

$\frac{2 x^{2} + 32 x + 33}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$2 x^{2} + 32 x + 33 = 0$

$2 - x = 0$

$33 + x = 0$

Paso 4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5

Sustituye los valores $a = 2$ , $b = 32$ y $c = 33$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 33)}}{2 \cdot 2}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Eleva $32$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 2 \cdot 33}}{2 \cdot 2}$

Paso 6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 33$ .

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Paso 6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 8 \cdot 33}}{2 \cdot 2}$

Paso 6.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $33$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 264}}{2 \cdot 2}$

Paso 6.1.3

Resta $264$ de $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{760}}{2 \cdot 2}$

Paso 6.1.4

Reescribe $760$ como $2^{2} \cdot 190$ .

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Paso 6.1.4.1

Factoriza $4$ de $760$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (190)}}{2 \cdot 2}$

Paso 6.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 190}}{2 \cdot 2}$

Paso 6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{190}}{2 \cdot 2}$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{190}}{4}$

Paso 6.3

Simplifica $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{190}}{4}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{190}}{2}$

Paso 7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$

Paso 8

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 2$

Paso 9

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 9.1

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 9.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.1

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Paso 10

Resta $33$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 33$

Paso 11

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$

$x = 2$

$x = - 33$

Paso 12

Consolida las soluciones.

$x = - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}, 2, - 33$

Paso 13

Obtén el dominio de $\frac{2 x^{2} + 32 x + 33}{(2 - x) (33 + x)}$ .

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Paso 13.1

Establece el denominador en $\frac{2 x^{2} + 32 x + 33}{(2 - x) (33 + x)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$(2 - x) (33 + x) = 0$

Paso 13.2

Resuelve $x$

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Paso 13.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 - x = 0$

$33 + x = 0$

Paso 13.2.2

Establece $2 - x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.2.2.1

Establece $2 - x$ igual a $0$ .

$2 - x = 0$

Paso 13.2.2.2

Resuelve $2 - x = 0$ en $x$ .

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Paso 13.2.2.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 2$

Paso 13.2.2.2.2

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 13.2.2.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 13.2.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 13.2.2.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 13.2.2.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 13.2.2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 13.2.2.2.2.3.1

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Paso 13.2.3

Establece $33 + x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.2.3.1

Establece $33 + x$ igual a $0$ .

$33 + x = 0$

Paso 13.2.3.2

Resta $33$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 33$

Paso 13.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 - x) (33 + x) = 0$ verdadera.

$x = 2, - 33$

Paso 13.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 33) \cup (- 33, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 14

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 33$

$- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$

$- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$

$- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$

$x > 2$

Paso 15

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 15.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 33$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 15.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 33$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 36$

Paso 15.1.2

Reemplaza $x$ con $- 36$ en la desigualdad original.

$\frac{(- 36) + 1}{2 - (- 36)} < \frac{- 36}{33 - 36}$

Paso 15.1.3

$- 0.92105263$ del lado izquierdo es menor que $12$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 15.2

Prueba un valor en el intervalo $- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 15.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 17$

Paso 15.2.2

Reemplaza $x$ con $- 17$ en la desigualdad original.

$\frac{(- 17) + 1}{2 - (- 17)} < \frac{- 17}{33 - 17}$

Paso 15.2.3

$- 0.84210526$ del lado izquierdo no es menor que $- 1.0625$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 15.3

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 15.3.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 15.3.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\frac{(- 4) + 1}{2 - (- 4)} < \frac{- 4}{33 - 4}$

Paso 15.3.3

$- 0.5$ del lado izquierdo es menor que $- 0.13793103$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 15.4

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 15.4.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 15.4.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{(0) + 1}{2 - (0)} < \frac{0}{33 + 0}$

Paso 15.4.3

$0.5$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 15.5

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 15.5.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 15.5.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{(4) + 1}{2 - (4)} < \frac{4}{33 + 4}$

Paso 15.5.3

$- 2.5$ del lado izquierdo es menor que $0.\overline{108}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 15.6

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 33$ Verdadero

$- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ Falso

$- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ Verdadero

$- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

$x < - 33$ Verdadero

$- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ Falso

$- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ Verdadero

$- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

Paso 16

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 33$ o $- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ o $x > 2$

Paso 17

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < - 33 or - \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2} or x > 2$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 33) \cup (- \frac{16 + \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}) \cup (2, \infty)$

Paso 18