Matemática discreta Ejemplos

$x - 2 \sqrt{5 x} = 15$

Paso 1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 \sqrt{5 x} = 15 - x$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(- 2 \sqrt{5 x})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5 x}$ como ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2 {(5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${(- 2 {(5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $5 x$ .

${(- 2 (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.2.1.2.1

Aplica la regla del producto a $- 2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2 \cdot 5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Paso 3.2.1.2.2

Aplica la regla del producto a $- 2 \cdot 5^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2)}^{2} \cdot {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Paso 3.2.1.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$4 \cdot {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Paso 3.2.1.4

Multiplica los exponentes en ${(5^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Paso 3.2.1.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.4.2.1

Cancela el factor común.

$4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Paso 3.2.1.4.2.2

Reescribe la expresión.

$4 \cdot 5^{1} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Paso 3.2.1.5

Evalúa el exponente.

$4 \cdot 5 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Paso 3.2.1.6

Multiplica $4$ por $5$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Paso 3.2.1.7

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.7.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(15 - x)}^{2}$

Paso 3.2.1.7.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.7.2.1

Cancela el factor común.

$20 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(15 - x)}^{2}$

Paso 3.2.1.7.2.2

Reescribe la expresión.

$20 x^{1} = {(15 - x)}^{2}$

Paso 3.2.1.8

Simplifica.

$20 x = {(15 - x)}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${(15 - x)}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe ${(15 - x)}^{2}$ como $(15 - x) (15 - x)$ .

$20 x = (15 - x) (15 - x)$

Paso 3.3.1.2

Expande $(15 - x) (15 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$20 x = 15 (15 - x) - x (15 - x)$

Paso 3.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$20 x = 15 \cdot 15 + 15 (- x) - x (15 - x)$

Paso 3.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$20 x = 15 \cdot 15 + 15 (- x) - x \cdot 15 - x (- x)$

Paso 3.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.3.1.1

Multiplica $15$ por $15$ .

$20 x = 225 + 15 (- x) - x \cdot 15 - x (- x)$

Paso 3.3.1.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $15$ .

$20 x = 225 - 15 x - x \cdot 15 - x (- x)$

Paso 3.3.1.3.1.3

Multiplica $15$ por $- 1$ .

$20 x = 225 - 15 x - 15 x - x (- x)$

Paso 3.3.1.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$20 x = 225 - 15 x - 15 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Paso 3.3.1.3.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.3.1.5.1

Mueve $x$ .

$20 x = 225 - 15 x - 15 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Paso 3.3.1.3.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$20 x = 225 - 15 x - 15 x - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Paso 3.3.1.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$20 x = 225 - 15 x - 15 x + 1 x^{2}$

Paso 3.3.1.3.1.7

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$20 x = 225 - 15 x - 15 x + x^{2}$

Paso 3.3.1.3.2

Resta $15 x$ de $- 15 x$ .

$20 x = 225 - 30 x + x^{2}$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$225 - 30 x + x^{2} = 20 x$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Resta $20 x$ de ambos lados de la ecuación.

$225 - 30 x + x^{2} - 20 x = 0$

Paso 4.2.2

Resta $20 x$ de $- 30 x$ .

$225 + x^{2} - 50 x = 0$

Paso 4.3

Factoriza $225 + x^{2} - 50 x$ con el método AC.

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Paso 4.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $225$ y cuya suma es $- 50$ .

$- 45, - 5$

Paso 4.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 45) (x - 5) = 0$

Paso 4.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 45 = 0$

$x - 5 = 0$

Paso 4.5

Establece $x - 45$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.5.1

Establece $x - 45$ igual a $0$ .

$x - 45 = 0$

Paso 4.5.2

Suma $45$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 45$

Paso 4.6

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.6.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 4.6.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 4.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 45) (x - 5) = 0$ verdadera.

$x = 45, 5$

Paso 5

Excluye las soluciones que no hagan que $x - 2 \sqrt{5 x} = 15$ sea verdadera.

$x = 45$