Matemática discreta Ejemplos

$\ln (x) + \ln (x - 1) = \ln (2) + \ln (3)$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x - 1)) = \ln (2) + \ln (3)$

Paso 1.2

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 1) = \ln (2) + \ln (3)$

Paso 1.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.2.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot - 1) = \ln (2) + \ln (3)$

Paso 1.2.2.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\ln (x^{2} - 1 \cdot x) = \ln (2) + \ln (3)$

Paso 1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\ln (x^{2} - x) = \ln (2) + \ln (3)$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x^{2} - x) = \ln (2 \cdot 3)$

Paso 2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\ln (x^{2} - x) = \ln (6)$

Paso 3

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$x^{2} - x = 6$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - x - 6 = 0$

Paso 4.2

Factoriza $x^{2} - x - 6$ con el método AC.

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Paso 4.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 3, 2$

Paso 4.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 3) (x + 2) = 0$

Paso 4.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 4.4

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.4.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 4.4.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 4.5

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.5.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 4.5.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 4.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 3) (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = 3, - 2$

Paso 5

Excluye las soluciones que no hagan que $\ln (x) + \ln (x - 1) = \ln (2) + \ln (3)$ sea verdadera.

$x = 3$