Matemática discreta Ejemplos

$\ln (\ln (x - e^{6} x)) = 0$

Paso 1

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\ln (x - e^{6} x))} = e^{0}$

Paso 2

Reescribe $\ln (\ln (x - e^{6} x)) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \ln (x - e^{6} x)$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\ln (x - e^{6} x) = e^{0}$ .

$\ln (x - e^{6} x) = e^{0}$

Paso 3.2

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x - e^{6} x)} = e^{e^{0}}$

Paso 3.3

Reescribe $\ln (x - e^{6} x) = e^{0}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{e^{0}} = x - e^{6} x$

Paso 3.4

Resuelve $x$

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $x - e^{6} x = e^{e^{0}}$ .

$x - e^{6} x = e^{e^{0}}$

Paso 3.4.2

Simplifica $e^{e^{0}}$ .

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Paso 3.4.2.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x - e^{6} x = e^{1}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica.

$x - e^{6} x = e$

Paso 3.4.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.4.3.1

Factoriza $x$ de $x - e^{6} x$ .

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Paso 3.4.3.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x - e^{6} x = e$

Paso 3.4.3.1.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - e^{6} x = e$

Paso 3.4.3.1.3

Factoriza $x$ de $- e^{6} x$ .

$x \cdot 1 + x (- e^{6}) = e$

Paso 3.4.3.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot 1 + x (- e^{6})$ .

$x (1 - e^{6}) = e$

Paso 3.4.3.2

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$x (1^{3} - e^{6}) = e$

Paso 3.4.3.3

Reescribe $e^{6}$ como ${(e^{2})}^{3}$ .

$x (1^{3} - {(e^{2})}^{3}) = e$

Paso 3.4.3.4

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 1$ y $b = e^{2}$ .

$x ((1 - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})) = e$

Paso 3.4.3.5

Factoriza.

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Paso 3.4.3.5.1

Simplifica.

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Paso 3.4.3.5.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$x ((1^{2} - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})) = e$

Paso 3.4.3.5.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = e$ .

$x ((1 + e) (1 - e) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})) = e$

Paso 3.4.3.5.1.3

Multiplica $e^{2}$ por $1$ .

$x ((1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2})) = e$

Paso 3.4.3.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2}) = e$

Paso 3.4.3.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + {(e^{2})}^{2}) = e$

Paso 3.4.3.7

Multiplica los exponentes en ${(e^{2})}^{2}$ .

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Paso 3.4.3.7.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{2 \cdot 2}) = e$

Paso 3.4.3.7.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4}) = e$

Paso 3.4.4

Divide cada término en $x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4}) = e$ por $1 - e^{6}$ y simplifica.

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Paso 3.4.4.1

Divide cada término en $x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4}) = e$ por $1 - e^{6}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{1 - e^{6}} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.4.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 3.4.4.2.1.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{1^{3} - e^{6}} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

Paso 3.4.4.2.1.2

Reescribe $e^{6}$ como ${(e^{2})}^{3}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{1^{3} - {(e^{2})}^{3}} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

Paso 3.4.4.2.1.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 1$ y $b = e^{2}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

Paso 3.4.4.2.1.4

Simplifica.

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Paso 3.4.4.2.1.4.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1^{2} - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

Paso 3.4.4.2.1.4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = e$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

Paso 3.4.4.2.1.4.3

Multiplica $e^{2}$ por $1$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2})} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

Paso 3.4.4.2.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.4.2.1.5.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + {(e^{2})}^{2})} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

Paso 3.4.4.2.1.5.2

Multiplica los exponentes en ${(e^{2})}^{2}$ .

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Paso 3.4.4.2.1.5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{2 \cdot 2})} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

Paso 3.4.4.2.1.5.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

Paso 3.4.4.2.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.4.4.2.2.1

Cancela el factor común de $1 + e$ .

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Paso 3.4.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

Paso 3.4.4.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x (1 - e)) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

Paso 3.4.4.2.2.2

Cancela el factor común de $1 - e$ .

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Paso 3.4.4.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

Paso 3.4.4.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x) (1 + e^{2} + e^{4})}{1 + e^{2} + e^{4}} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

Paso 3.4.4.2.2.3

Cancela el factor común de $1 + e^{2} + e^{4}$ .

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Paso 3.4.4.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (1 + e^{2} + e^{4})}{1 + e^{2} + e^{4}} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

Paso 3.4.4.2.2.3.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{e}{1 - e^{6}}$

Paso 3.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.4.3.1

Simplifica el denominador.

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Paso 3.4.4.3.1.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$x = \frac{e}{1^{3} - e^{6}}$

Paso 3.4.4.3.1.2

Reescribe $e^{6}$ como ${(e^{2})}^{3}$ .

$x = \frac{e}{1^{3} - {(e^{2})}^{3}}$

Paso 3.4.4.3.1.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 1$ y $b = e^{2}$ .

$x = \frac{e}{(1 - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Paso 3.4.4.3.1.4

Simplifica.

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Paso 3.4.4.3.1.4.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$x = \frac{e}{(1^{2} - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Paso 3.4.4.3.1.4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = e$ .

$x = \frac{e}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Paso 3.4.4.3.1.4.3

Multiplica $e^{2}$ por $1$ .

$x = \frac{e}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Paso 3.4.4.3.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.4.3.1.5.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{e}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Paso 3.4.4.3.1.5.2

Multiplica los exponentes en ${(e^{2})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.3.1.5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{e}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{2 \cdot 2})}$

Paso 3.4.4.3.1.5.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{e}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{e}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}$

Forma decimal:

$x = - 0.00675469 \dots$