Matemática discreta Ejemplos

$\ln (3 x - 4) = \ln (20) - \ln (x - 5)$

Paso 1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (3 x - 4) = \ln (\frac{20}{x - 5})$

Paso 2

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$3 x - 4 = \frac{20}{x - 5}$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = \frac{20}{x - 5} + 4$

Paso 3.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, x - 5, 1$

Paso 3.2.2

Elimina los paréntesis.

$1, x - 5, 1$

Paso 3.2.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x - 5$

Paso 3.3

Multiplica cada término en $3 x = \frac{20}{x - 5} + 4$ por $x - 5$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.3.1

Multiplica cada término en $3 x = \frac{20}{x - 5} + 4$ por $x - 5$ .

$3 x (x - 5) = \frac{20}{x - 5} (x - 5) + 4 (x - 5)$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x \cdot x + 3 x \cdot - 5 = \frac{20}{x - 5} (x - 5) + 4 (x - 5)$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.2.2.1

Mueve $x$ .

$3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 5 = \frac{20}{x - 5} (x - 5) + 4 (x - 5)$

Paso 3.3.2.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot - 5 = \frac{20}{x - 5} (x - 5) + 4 (x - 5)$

Paso 3.3.2.3

Multiplica $- 5$ por $3$ .

$3 x^{2} - 15 x = \frac{20}{x - 5} (x - 5) + 4 (x - 5)$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.1.1

Cancela el factor común de $x - 5$ .

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Paso 3.3.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$3 x^{2} - 15 x = \frac{20}{x - 5} (x - 5) + 4 (x - 5)$

Paso 3.3.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$3 x^{2} - 15 x = 20 + 4 (x - 5)$

Paso 3.3.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} - 15 x = 20 + 4 x + 4 \cdot - 5$

Paso 3.3.3.1.3

Multiplica $4$ por $- 5$ .

$3 x^{2} - 15 x = 20 + 4 x - 20$

Paso 3.3.3.2

Combina los términos opuestos en $20 + 4 x - 20$ .

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Paso 3.3.3.2.1

Resta $20$ de $20$ .

$3 x^{2} - 15 x = 4 x + 0$

Paso 3.3.3.2.2

Suma $4 x$ y $0$ .

$3 x^{2} - 15 x = 4 x$

Paso 3.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.4.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.4.1.1

Resta $4 x$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} - 15 x - 4 x = 0$

Paso 3.4.1.2

Resta $4 x$ de $- 15 x$ .

$3 x^{2} - 19 x = 0$

Paso 3.4.2

Factoriza $x$ de $3 x^{2} - 19 x$ .

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Paso 3.4.2.1

Factoriza $x$ de $3 x^{2}$ .

$x (3 x) - 19 x = 0$

Paso 3.4.2.2

Factoriza $x$ de $- 19 x$ .

$x (3 x) + x \cdot - 19 = 0$

Paso 3.4.2.3

Factoriza $x$ de $x (3 x) + x \cdot - 19$ .

$x (3 x - 19) = 0$

Paso 3.4.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$3 x - 19 = 0$

Paso 3.4.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 3.4.5

Establece $3 x - 19$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.5.1

Establece $3 x - 19$ igual a $0$ .

$3 x - 19 = 0$

Paso 3.4.5.2

Resuelve $3 x - 19 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.4.5.2.1

Suma $19$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 19$

Paso 3.4.5.2.2

Divide cada término en $3 x = 19$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.4.5.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 19$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{19}{3}$

Paso 3.4.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{19}{3}$

Paso 3.4.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{19}{3}$

Paso 3.4.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (3 x - 19) = 0$ verdadera.

$x = 0, \frac{19}{3}$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\ln (3 x - 4) = \ln (20) - \ln (x - 5)$ sea verdadera.

$x = \frac{19}{3}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{19}{3}$

Forma decimal:

$x = 6.\overline{3}$

Forma de número mixto:

$x = 6 \frac{1}{3}$