Matemática discreta Ejemplos

$\ln (1 - x) + \ln (8 - x) = \ln (18)$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((1 - x) (8 - x)) = \ln (18)$

Paso 1.2

Expande $(1 - x) (8 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (1 (8 - x) - x (8 - x)) = \ln (18)$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (1 \cdot 8 + 1 (- x) - x (8 - x)) = \ln (18)$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (1 \cdot 8 + 1 (- x) - x \cdot 8 - x (- x)) = \ln (18)$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $8$ por $1$ .

$\ln (8 + 1 (- x) - x \cdot 8 - x (- x)) = \ln (18)$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $- x$ por $1$ .

$\ln (8 - x - x \cdot 8 - x (- x)) = \ln (18)$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$\ln (8 - x - 8 x - x (- x)) = \ln (18)$

Paso 1.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\ln (8 - x - 8 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x)) = \ln (18)$

Paso 1.3.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1.5.1

Mueve $x$ .

$\ln (8 - x - 8 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x))) = \ln (18)$

Paso 1.3.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\ln (8 - x - 8 x - 1 \cdot (- 1 x^{2})) = \ln (18)$

Paso 1.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (8 - x - 8 x + 1 x^{2}) = \ln (18)$

Paso 1.3.1.7

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\ln (8 - x - 8 x + x^{2}) = \ln (18)$

Paso 1.3.2

Resta $8 x$ de $- x$ .

$\ln (8 - 9 x + x^{2}) = \ln (18)$

Paso 2

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$8 - 9 x + x^{2} = 18$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Resta $18$ de ambos lados de la ecuación.

$8 - 9 x + x^{2} - 18 = 0$

Paso 3.2

Resta $18$ de $8$ .

$- 9 x + x^{2} - 10 = 0$

Paso 3.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$- 9 u + u^{2} - 10 = 0$

Paso 3.3.2

Factoriza $- 9 u + u^{2} - 10$ con el método AC.

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Paso 3.3.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 10$ y cuya suma es $- 9$ .

$- 10, 1$

Paso 3.3.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 10) (u + 1) = 0$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(x - 10) (x + 1) = 0$

Paso 3.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 10 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 3.5

Establece $x - 10$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $x - 10$ igual a $0$ .

$x - 10 = 0$

Paso 3.5.2

Suma $10$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 10$

Paso 3.6

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.6.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 3.6.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 10) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 10, - 1$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\ln (1 - x) + \ln (8 - x) = \ln (18)$ sea verdadera.

$x = - 1$