Matemática discreta Ejemplos

$\log (x) = \frac{1}{3} \cdot \log (a) + 4 \log (b) - 2 \log (c) - \frac{1}{2} \cdot \log (a - b)$

Paso 1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $\log (a)$ .

$\log (x) = \frac{\log (a)}{3} + 4 \log (b) - 2 \log (c) - \frac{1}{2} \log (a - b)$

Paso 1.1.2

Combina $\log (a - b)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\log (x) = \frac{\log (a)}{3} + 4 \log (b) - 2 \log (c) - \frac{\log (a - b)}{2}$

Paso 2

Multiplica cada término en $\log (x) = \frac{\log (a)}{3} + 4 \log (b) - 2 \log (c) - \frac{\log (a - b)}{2}$ por $6$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica cada término en $\log (x) = \frac{\log (a)}{3} + 4 \log (b) - 2 \log (c) - \frac{\log (a - b)}{2}$ por $6$ .

$\log (x) \cdot 6 = \frac{\log (a)}{3} \cdot 6 + 4 \log (b) \cdot 6 - 2 \log (c) \cdot 6 - \frac{\log (a - b)}{2} \cdot 6$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Mueve $6$ a la izquierda de $\log (x)$ .

$6 \log (x) = \frac{\log (a)}{3} \cdot 6 + 4 \log (b) \cdot 6 - 2 \log (c) \cdot 6 - \frac{\log (a - b)}{2} \cdot 6$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$6 \log (x) = \frac{\log (a)}{3} \cdot (3 (2)) + 4 \log (b) \cdot 6 - 2 \log (c) \cdot 6 - \frac{\log (a - b)}{2} \cdot 6$

Paso 2.3.1.1.2

Cancela el factor común.

$6 \log (x) = \frac{\log (a)}{3} \cdot (3 \cdot 2) + 4 \log (b) \cdot 6 - 2 \log (c) \cdot 6 - \frac{\log (a - b)}{2} \cdot 6$

Paso 2.3.1.1.3

Reescribe la expresión.

$6 \log (x) = \log (a) \cdot 2 + 4 \log (b) \cdot 6 - 2 \log (c) \cdot 6 - \frac{\log (a - b)}{2} \cdot 6$

Paso 2.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\log (a)$ .

$6 \log (x) = 2 \cdot \log (a) + 4 \log (b) \cdot 6 - 2 \log (c) \cdot 6 - \frac{\log (a - b)}{2} \cdot 6$

Paso 2.3.1.3

Multiplica $6$ por $4$ .

$6 \log (x) = 2 \log (a) + 24 \log (b) - 2 \log (c) \cdot 6 - \frac{\log (a - b)}{2} \cdot 6$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $6$ por $- 2$ .

$6 \log (x) = 2 \log (a) + 24 \log (b) - 12 \log (c) - \frac{\log (a - b)}{2} \cdot 6$

Paso 2.3.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\log (a - b)}{2}$ al numerador.

$6 \log (x) = 2 \log (a) + 24 \log (b) - 12 \log (c) + \frac{- \log (a - b)}{2} \cdot 6$

Paso 2.3.1.5.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$6 \log (x) = 2 \log (a) + 24 \log (b) - 12 \log (c) + \frac{- \log (a - b)}{2} \cdot (2 (3))$

Paso 2.3.1.5.3

Cancela el factor común.

$6 \log (x) = 2 \log (a) + 24 \log (b) - 12 \log (c) + \frac{- \log (a - b)}{2} \cdot (2 \cdot 3)$

Paso 2.3.1.5.4

Reescribe la expresión.

$6 \log (x) = 2 \log (a) + 24 \log (b) - 12 \log (c) - \log (a - b) \cdot 3$

Paso 2.3.1.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$6 \log (x) = 2 \log (a) + 24 \log (b) - 12 \log (c) - 3 \log (a - b)$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Simplifica $6 \log (x)$ al mover $6$ dentro del algoritmo.

$\log (x^{6}) = 2 \log (a) + 24 \log (b) - 12 \log (c) - 3 \log (a - b)$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

Simplifica $2 \log (a) + 24 \log (b) - 12 \log (c) - 3 \log (a - b)$ .

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Paso 4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1.1

Simplifica $2 \log (a)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\log (x^{6}) = \log (a^{2}) + 24 \log (b) - 12 \log (c) - 3 \log (a - b)$

Paso 4.1.1.2

Simplifica $24 \log (b)$ al mover $24$ dentro del algoritmo.

$\log (x^{6}) = \log (a^{2}) + \log (b^{24}) - 12 \log (c) - 3 \log (a - b)$

Paso 4.1.1.3

Simplifica $- 12 \log (c)$ al mover $12$ dentro del algoritmo.

$\log (x^{6}) = \log (a^{2}) + \log (b^{24}) - \log (c^{12}) - 3 \log (a - b)$

Paso 4.1.1.4

Simplifica $- 3 \log (a - b)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\log (x^{6}) = \log (a^{2}) + \log (b^{24}) - \log (c^{12}) - \log ({(a - b)}^{3})$

Paso 4.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (x^{6}) = \log (a^{2} b^{24}) - \log (c^{12}) - \log ({(a - b)}^{3})$

Paso 4.1.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (x^{6}) = \log (\frac{a^{2} b^{24}}{c^{12}}) - \log ({(a - b)}^{3})$

Paso 4.1.4

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (x^{6}) = \log (\frac{\frac{a^{2} b^{24}}{c^{12}}}{{(a - b)}^{3}})$

Paso 4.1.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\log (x^{6}) = \log (\frac{a^{2} b^{24}}{c^{12}} \cdot \frac{1}{{(a - b)}^{3}})$

Paso 4.1.6

Combinar.

$\log (x^{6}) = \log (\frac{a^{2} b^{24} \cdot 1}{c^{12} {(a - b)}^{3}})$

Paso 4.1.7

Multiplica $a^{2}$ por $1$ .

$\log (x^{6}) = \log (\frac{a^{2} b^{24}}{c^{12} {(a - b)}^{3}})$

Paso 5

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$x^{6} = \frac{a^{2} b^{24}}{c^{12} {(a - b)}^{3}}$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[6]{\frac{a^{2} b^{24}}{c^{12} {(a - b)}^{3}}}$

Paso 6.2

Simplifica $\pm \sqrt[6]{\frac{a^{2} b^{24}}{c^{12} {(a - b)}^{3}}}$ .

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Paso 6.2.1

Reescribe $\frac{a^{2} b^{24}}{c^{12} {(a - b)}^{3}}$ como ${(\frac{b^{4}}{c^{2}})}^{6} \frac{a^{2}}{{(a - b)}^{3}}$ .

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Paso 6.2.1.1

Factoriza la potencia perfecta ${(b^{4})}^{6}$ de $a^{2} b^{24}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{\frac{{(b^{4})}^{6} a^{2}}{c^{12} {(a - b)}^{3}}}$

Paso 6.2.1.2

Factoriza la potencia perfecta ${(c^{2})}^{6}$ de $c^{12} {(a - b)}^{3}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{\frac{{(b^{4})}^{6} a^{2}}{{(c^{2})}^{6} {(a - b)}^{3}}}$

Paso 6.2.1.3

Reorganiza la fracción $\frac{{(b^{4})}^{6} a^{2}}{{(c^{2})}^{6} {(a - b)}^{3}}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{{(\frac{b^{4}}{c^{2}})}^{6} \frac{a^{2}}{{(a - b)}^{3}}}$

Paso 6.2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm \frac{b^{4}}{c^{2}} \sqrt[6]{\frac{a^{2}}{{(a - b)}^{3}}}$

Paso 6.2.3

Reescribe $\sqrt[6]{\frac{a^{2}}{{(a - b)}^{3}}}$ como $\frac{\sqrt[6]{a^{2}}}{\sqrt[6]{{(a - b)}^{3}}}$ .

$x = \pm \frac{b^{4}}{c^{2}} \cdot \frac{\sqrt[6]{a^{2}}}{\sqrt[6]{{(a - b)}^{3}}}$

Paso 6.2.4

Combinar.

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[6]{a^{2}}}{c^{2} \sqrt[6]{{(a - b)}^{3}}}$

Paso 6.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.5.1

Reescribe $\sqrt[6]{a^{2}}$ como $\sqrt[3]{\sqrt{a^{2}}}$ .

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{\sqrt{a^{2}}}}{c^{2} \sqrt[6]{{(a - b)}^{3}}}$

Paso 6.2.5.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a}}{c^{2} \sqrt[6]{{(a - b)}^{3}}}$

Paso 6.2.6

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.6.1

Reescribe $\sqrt[6]{{(a - b)}^{3}}$ como $\sqrt{\sqrt[3]{{(a - b)}^{3}}}$ .

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a}}{c^{2} \sqrt{\sqrt[3]{{(a - b)}^{3}}}}$

Paso 6.2.6.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a}}{c^{2} \sqrt{a - b}}$

Paso 6.2.7

Multiplica $\frac{b^{4} \sqrt[3]{a}}{c^{2} \sqrt{a - b}}$ por $\frac{\sqrt{a - b}}{\sqrt{a - b}}$ .

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a}}{c^{2} \sqrt{a - b}} \cdot \frac{\sqrt{a - b}}{\sqrt{a - b}}$

Paso 6.2.8

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.2.8.1

Multiplica $\frac{b^{4} \sqrt[3]{a}}{c^{2} \sqrt{a - b}}$ por $\frac{\sqrt{a - b}}{\sqrt{a - b}}$ .

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a} \sqrt{a - b}}{c^{2} \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}$

Paso 6.2.8.2

Mueve $\sqrt{a - b}$ .

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a} \sqrt{a - b}}{c^{2} (\sqrt{a - b} \sqrt{a - b})}$

Paso 6.2.8.3

Eleva $\sqrt{a - b}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a} \sqrt{a - b}}{c^{2} ({\sqrt{a - b}}^{1} \sqrt{a - b})}$

Paso 6.2.8.4

Eleva $\sqrt{a - b}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a} \sqrt{a - b}}{c^{2} ({\sqrt{a - b}}^{1} {\sqrt{a - b}}^{1})}$

Paso 6.2.8.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a} \sqrt{a - b}}{c^{2} {\sqrt{a - b}}^{1 + 1}}$

Paso 6.2.8.6

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a} \sqrt{a - b}}{c^{2} {\sqrt{a - b}}^{2}}$

Paso 6.2.8.7

Reescribe ${\sqrt{a - b}}^{2}$ como $a - b$ .

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Paso 6.2.8.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{a - b}$ como ${(a - b)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a} \sqrt{a - b}}{c^{2} {({(a - b)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 6.2.8.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a} \sqrt{a - b}}{c^{2} {(a - b)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 6.2.8.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a} \sqrt{a - b}}{c^{2} {(a - b)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.2.8.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.8.7.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a} \sqrt{a - b}}{c^{2} {(a - b)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.2.8.7.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a} \sqrt{a - b}}{c^{2} {(a - b)}^{1}}$

Paso 6.2.8.7.5

Simplifica.

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a} \sqrt{a - b}}{c^{2} (a - b)}$

Paso 6.2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.9.1

Reescribe la expresión con el índice menos común de $6$ .

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Paso 6.2.9.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{a - b}$ como ${(a - b)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{b^{4} ({(a - b)}^{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{a})}{c^{2} (a - b)}$

Paso 6.2.9.1.2

Reescribe ${(a - b)}^{\frac{1}{2}}$ como ${(a - b)}^{\frac{3}{6}}$ .

$x = \pm \frac{b^{4} ({(a - b)}^{\frac{3}{6}} \sqrt[3]{a})}{c^{2} (a - b)}$

Paso 6.2.9.1.3

Reescribe ${(a - b)}^{\frac{3}{6}}$ como $\sqrt[6]{{(a - b)}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{b^{4} (\sqrt[6]{{(a - b)}^{3}} \sqrt[3]{a})}{c^{2} (a - b)}$

Paso 6.2.9.1.4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{a}$ como $a^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \pm \frac{b^{4} (\sqrt[6]{{(a - b)}^{3}} a^{\frac{1}{3}})}{c^{2} (a - b)}$

Paso 6.2.9.1.5

Reescribe $a^{\frac{1}{3}}$ como $a^{\frac{2}{6}}$ .

$x = \pm \frac{b^{4} (\sqrt[6]{{(a - b)}^{3}} a^{\frac{2}{6}})}{c^{2} (a - b)}$

Paso 6.2.9.1.6

Reescribe $a^{\frac{2}{6}}$ como $\sqrt[6]{a^{2}}$ .

$x = \pm \frac{b^{4} (\sqrt[6]{{(a - b)}^{3}} \sqrt[6]{a^{2}})}{c^{2} (a - b)}$

Paso 6.2.9.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[6]{{(a - b)}^{3} a^{2}}}{c^{2} (a - b)}$

Paso 6.2.10

Reordena los factores en $\pm \frac{b^{4} \sqrt[6]{{(a - b)}^{3} a^{2}}}{c^{2} (a - b)}$ .

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[6]{a^{2} {(a - b)}^{3}}}{c^{2} (a - b)}$

Paso 6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{b^{4} \sqrt[6]{a^{2} {(a - b)}^{3}}}{c^{2} (a - b)}$

Paso 6.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{b^{4} \sqrt[6]{a^{2} {(a - b)}^{3}}}{c^{2} (a - b)}$

Paso 6.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{b^{4} \sqrt[6]{a^{2} {(a - b)}^{3}}}{c^{2} (a - b)}$

$x = - \frac{b^{4} \sqrt[6]{a^{2} {(a - b)}^{3}}}{c^{2} (a - b)}$

$x = \frac{b^{4} \sqrt[6]{a^{2} {(a - b)}^{3}}}{c^{2} (a - b)}$

$x = - \frac{b^{4} \sqrt[6]{a^{2} {(a - b)}^{3}}}{c^{2} (a - b)}$

$x = \frac{b^{4} \sqrt[6]{a^{2} {(a - b)}^{3}}}{c^{2} (a - b)}$

$x = - \frac{b^{4} \sqrt[6]{a^{2} {(a - b)}^{3}}}{c^{2} (a - b)}$