Matemática discreta Ejemplos

$\ln (x - 2) + \ln (2 x + 1) = 8$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 2) (2 x + 1)) = 8$

Paso 1.2

Expande $(x - 2) (2 x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1)) = 8$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (x (2 x) + x \cdot 1 - 2 (2 x + 1)) = 8$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (x (2 x) + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\ln (2 x \cdot x + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\ln (2 (x \cdot x) + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

Paso 1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\ln (2 x^{2} + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$\ln (2 x^{2} + x - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

Paso 1.3.1.4

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\ln (2 x^{2} + x - 4 x - 2 \cdot 1) = 8$

Paso 1.3.1.5

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\ln (2 x^{2} + x - 4 x - 2) = 8$

Paso 1.3.2

Resta $4 x$ de $x$ .

$\ln (2 x^{2} - 3 x - 2) = 8$

Paso 2

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (2 x^{2} - 3 x - 2)} = e^{8}$

Paso 3

Reescribe $\ln (2 x^{2} - 3 x - 2) = 8$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{8} = 2 x^{2} - 3 x - 2$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $2 x^{2} - 3 x - 2 = e^{8}$ .

$2 x^{2} - 3 x - 2 = e^{8}$

Paso 4.2

Resta $e^{8}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} - 3 x - 2 - e^{8} = 0$

Paso 4.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.4

Sustituye los valores $a = 2$ , $b = - 3$ y $c = - 2 - e^{8}$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (- 2 - e^{8}))}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.5

Simplifica.

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Paso 4.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot (- 2 - e^{8})}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.5.1.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot (- 2 - e^{8})}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2 - 8 (- e^{8})}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.5.1.4

Multiplica $- 8$ por $- 2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16 - 8 (- e^{8})}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.5.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16 + 8 e^{8}}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.5.1.6

Suma $9$ y $16$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}$

Paso 4.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{3 + \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}, \frac{3 - \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}$

Paso 5

Excluye las soluciones que no hagan que $\ln (x - 2) + \ln (2 x + 1) = 8$ sea verdadera.

$x = \frac{3 + \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{3 + \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}$

Forma decimal:

$x = 39.37695294 \dots$