Matemática discreta Ejemplos

$5 \log_{2} (x) - \log_{2} (2 x^{3}) = 5$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$5 \log_{2} (x) - \log_{2} (2 x^{3}) = 5$

Paso 2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Simplifica $5 \log_{2} (x) - \log_{2} (2 x^{3})$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica $5 \log_{2} (x)$ al mover $5$ dentro del algoritmo.

$\log_{2} (x^{5}) - \log_{2} (2 x^{3}) = 5$

Paso 2.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x^{5}}{2 x^{3}}) = 5$

Paso 2.1.3

Reduce la expresión $\frac{x^{5}}{2 x^{3}}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.1.3.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{5}$ .

$\log_{2} (\frac{x^{3} x^{2}}{2 x^{3}}) = 5$

Paso 2.1.3.2

Factoriza $x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\log_{2} (\frac{x^{3} x^{2}}{x^{3} \cdot 2}) = 5$

Paso 2.1.3.3

Cancela el factor común.

$\log_{2} (\frac{x^{3} x^{2}}{x^{3} \cdot 2}) = 5$

Paso 2.1.3.4

Reescribe la expresión.

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{2}) = 5$

Paso 2.1.4

Reescribe $\frac{x^{2}}{2}$ como $x^{2} \cdot 2^{- 1}$ .

$\log_{2} (x^{2} \cdot 2^{- 1}) = 5$

Paso 2.1.5

Reescribe $\log_{2} (x^{2} \cdot 2^{- 1})$ como $\log_{2} (x^{2}) + \log_{2} (2^{- 1})$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \log_{2} (2^{- 1}) = 5$

Paso 2.1.6

Usa las reglas de logaritmos para mover $- 1$ fuera del exponente.

$\log_{2} (x^{2}) - \log_{2} (2) = 5$

Paso 2.1.7

El logaritmo en base $2$ de $2$ es $1$ .

$\log_{2} (x^{2}) - 1 \cdot 1 = 5$

Paso 2.1.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\log_{2} (x^{2}) - 1 = 5$

Paso 3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\log_{2} (x^{2}) = 5 + 1$

Paso 3.2

Suma $5$ y $1$ .

$\log_{2} (x^{2}) = 6$

Paso 4

Escribe en formato exponencial.

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Paso 4.1

Para ecuaciones logarítmicas, $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ tal que $x > 0$ , $b > 0$ y $b \neq 1$ . En este caso, $b = 2$ , $x = x^{2}$ y $y = 6$ .

$b = 2$

$x = x^{2}$

$y = 6$

Paso 4.2

Sustituye los valores de $b$ , $x$ y $y$ en la ecuación $b^{y} = x$ .

$2^{6} = x^{2}$

Paso 5

Resuelve $x$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} = 2^{6}$ .

$x^{2} = 2^{6}$

Paso 5.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2^{6}}$

Paso 5.3

Simplifica $\pm \sqrt{2^{6}}$ .

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Paso 5.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $6$ .

$x = \pm \sqrt{64}$

Paso 5.3.2

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Paso 5.3.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 8$

Paso 5.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 8$

Paso 5.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 8$

Paso 5.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 8, - 8$

Paso 6

Excluye las soluciones que no hagan que $5 \log_{2} (x) - \log_{2} (2 x^{3}) = 5$ sea verdadera.

$x = 8$