Matemática discreta Ejemplos

$5 ({1.06}^{2 x + 1}) = 11$

Paso 1

Divide cada término en $5 \cdot {1.06}^{2 x + 1} = 11$ por $5$ y simplifica.

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Paso 1.1

Divide cada término en $5 \cdot {1.06}^{2 x + 1} = 11$ por $5$ .

$\frac{5 \cdot {1.06}^{2 x + 1}}{5} = \frac{11}{5}$

Paso 1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 \cdot {1.06}^{2 x + 1}}{5} = \frac{11}{5}$

Paso 1.2.1.2

Divide ${1.06}^{2 x + 1}$ por $1$ .

${1.06}^{2 x + 1} = \frac{11}{5}$

Paso 2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln ({1.06}^{2 x + 1}) = \ln (\frac{11}{5})$

Paso 3

Expande $\ln ({1.06}^{2 x + 1})$ ; para ello, mueve $2 x + 1$ fuera del logaritmo.

$(2 x + 1) \ln (1.06) = \ln (\frac{11}{5})$

Paso 4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1

Simplifica $(2 x + 1) \ln (1.06)$ .

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x \ln (1.06) + 1 \ln (1.06) = \ln (\frac{11}{5})$

Paso 4.1.2

Multiplica $\ln (1.06)$ por $1$ .

$2 x \ln (1.06) + \ln (1.06) = \ln (\frac{11}{5})$

Paso 5

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$2 x \ln (1.06) + \ln (1.06) - \ln (\frac{11}{5}) = 0$

Paso 6

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 x \ln (1.06) + \ln (\frac{1.06}{\frac{11}{5}}) = 0$

Paso 7

Simplifica cada término.

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Paso 7.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 x \ln (1.06) + \ln (1.06 (\frac{5}{11})) = 0$

Paso 7.2

Multiplica $1.06 (\frac{5}{11})$ .

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Paso 7.2.1

Combina $1.06$ y $\frac{5}{11}$ .

$2 x \ln (1.06) + \ln (\frac{1.06 \cdot 5}{11}) = 0$

Paso 7.2.2

Multiplica $1.06$ por $5$ .

$2 x \ln (1.06) + \ln (\frac{5.3}{11}) = 0$

Paso 7.3

Divide $5.3$ por $11$ .

$2 x \ln (1.06) + \ln (0.4\overline{81}) = 0$

Paso 8

Resta $\ln (0.4\overline{81})$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x \ln (1.06) = - \ln (0.4\overline{81})$

Paso 9

Divide cada término en $2 x \ln (1.06) = - \ln (0.4\overline{81})$ por $2 \ln (1.06)$ y simplifica.

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Paso 9.1

Divide cada término en $2 x \ln (1.06) = - \ln (0.4\overline{81})$ por $2 \ln (1.06)$ .

$\frac{2 x \ln (1.06)}{2 \ln (1.06)} = \frac{- \ln (0.4\overline{81})}{2 \ln (1.06)}$

Paso 9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x \ln (1.06)}{2 \ln (1.06)} = \frac{- \ln (0.4\overline{81})}{2 \ln (1.06)}$

Paso 9.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x \ln (1.06)}{\ln (1.06)} = \frac{- \ln (0.4\overline{81})}{2 \ln (1.06)}$

Paso 9.2.2

Cancela el factor común de $\ln (1.06)$ .

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Paso 9.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (1.06)}{\ln (1.06)} = \frac{- \ln (0.4\overline{81})}{2 \ln (1.06)}$

Paso 9.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (0.4\overline{81})}{2 \ln (1.06)}$

Paso 9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{\ln (0.4\overline{81})}{2 \ln (1.06)}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{\ln (0.4\overline{81})}{2 \ln (1.06)}$

Forma decimal:

$x = 6.26567817 \dots$