Matemática discreta Ejemplos

$P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$

Paso 1

Escribe $P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$ como una ecuación.

$y = 20000 {(1.02)}^{t}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$t = 20000 {(1.02)}^{y}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $20000 \cdot {1.02}^{y} = t$ .

$20000 \cdot {1.02}^{y} = t$

Paso 3.2

Divide cada término en $20000 \cdot {1.02}^{y} = t$ por $20000$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $20000 \cdot {1.02}^{y} = t$ por $20000$ .

$\frac{20000 \cdot {1.02}^{y}}{20000} = \frac{t}{20000}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $20000$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{20000 \cdot {1.02}^{y}}{20000} = \frac{t}{20000}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide ${1.02}^{y}$ por $1$ .

${1.02}^{y} = \frac{t}{20000}$

Paso 3.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln ({1.02}^{y}) = \ln (\frac{t}{20000})$

Paso 3.4

Expande $\ln ({1.02}^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (1.02) = \ln (\frac{t}{20000})$

Paso 3.5

Divide cada término en $y \ln (1.02) = \ln (\frac{t}{20000})$ por $\ln (1.02)$ y simplifica.

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Paso 3.5.1

Divide cada término en $y \ln (1.02) = \ln (\frac{t}{20000})$ por $\ln (1.02)$ .

$\frac{y \ln (1.02)}{\ln (1.02)} = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.1

Cancela el factor común de $\ln (1.02)$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \ln (1.02)}{\ln (1.02)} = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

Paso 3.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

Paso 4

Replace $y$ with $P^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

Paso 5

Verifica si $P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$ es la inversa de $P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $P^{- 1} (P (t)) = t$ y $P (P^{- 1} (t)) = t$ .

Paso 5.2

Evalúa $P^{- 1} (P (t))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$P^{- 1} (P (t))$

Paso 5.2.2

Evalúa $P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t})$ mediante la sustitución del valor de $P$ en $P^{- 1}$ .

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{\ln (\frac{20000 {(1.02)}^{t}}{20000})}{\ln (1.02)}$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común de $20000$ .

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Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común.

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{\ln (\frac{20000 {(1.02)}^{t}}{20000})}{\ln (1.02)}$

Paso 5.2.3.2

Divide ${(1.02)}^{t}$ por $1$ .

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{\ln ({(1.02)}^{t})}{\ln (1.02)}$

Paso 5.2.4

Expande $\ln ({(1.02)}^{t})$ ; para ello, mueve $t$ fuera del logaritmo.

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{t \ln (1.02)}{\ln (1.02)}$

Paso 5.2.5

Cancela el factor común de $\ln (1.02)$ .

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Paso 5.2.5.1

Cancela el factor común.

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{t \ln (1.02)}{\ln (1.02)}$

Paso 5.2.5.2

Divide $t$ por $1$ .

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = t$

Paso 5.3

Evalúa $P (P^{- 1} (t))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$P (P^{- 1} (t))$

Paso 5.3.2

Evalúa $P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)})$ mediante la sustitución del valor de $P^{- 1}$ en $P$ .

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 {(1.02)}^{\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}}$

Paso 5.3.3

Usa la regla de cambio de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 \cdot {1.02}^{\log_{1.02} (\frac{t}{20000})}$

Paso 5.3.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 \cdot \frac{t}{20000}$

Paso 5.3.5

Cancela el factor común de $20000$ .

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Paso 5.3.5.1

Cancela el factor común.

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 \cdot \frac{t}{20000}$

Paso 5.3.5.2

Reescribe la expresión.

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = t$

Paso 5.4

Como $P^{- 1} (P (t)) = t$ y $P (P^{- 1} (t)) = t$ , entonces $P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$ es la inversa de $P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$ .

$P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$