Matemática discreta Ejemplos

$y = \frac{25 - x^{2}}{8 + x^{2}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $\frac{25 - x^{2}}{8 + x^{2}} = y$ .

$\frac{25 - x^{2}}{8 + x^{2}} = y$

Paso 2

Factoriza cada término.

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Paso 2.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{5^{2} - x^{2}}{8 + x^{2}} = y$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 5$ y $b = x$ .

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{8 + x^{2}} = y$

Paso 3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$8 + x^{2}, 1$

Paso 3.2

Elimina los paréntesis.

$8 + x^{2}, 1$

Paso 3.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$8 + x^{2}$

Paso 4

Multiplica cada término en $\frac{(5 + x) (5 - x)}{8 + x^{2}} = y$ por $8 + x^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 4.1

Multiplica cada término en $\frac{(5 + x) (5 - x)}{8 + x^{2}} = y$ por $8 + x^{2}$ .

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{8 + x^{2}} (8 + x^{2}) = y (8 + x^{2})$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $8 + x^{2}$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{8 + x^{2}} (8 + x^{2}) = y (8 + x^{2})$

Paso 4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$(5 + x) (5 - x) = y (8 + x^{2})$

Paso 4.2.2

Expande $(5 + x) (5 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (5 - x) + x (5 - x) = y (8 + x^{2})$

Paso 4.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$5 \cdot 5 + 5 (- x) + x (5 - x) = y (8 + x^{2})$

Paso 4.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$5 \cdot 5 + 5 (- x) + x \cdot 5 + x (- x) = y (8 + x^{2})$

Paso 4.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.1.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$25 + 5 (- x) + x \cdot 5 + x (- x) = y (8 + x^{2})$

Paso 4.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$25 - 5 x + x \cdot 5 + x (- x) = y (8 + x^{2})$

Paso 4.2.3.1.3

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$25 - 5 x + 5 \cdot x + x (- x) = y (8 + x^{2})$

Paso 4.2.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$25 - 5 x + 5 x - x \cdot x = y (8 + x^{2})$

Paso 4.2.3.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.3.1.5.1

Mueve $x$ .

$25 - 5 x + 5 x - (x \cdot x) = y (8 + x^{2})$

Paso 4.2.3.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$25 - 5 x + 5 x - x^{2} = y (8 + x^{2})$

Paso 4.2.3.2

Suma $- 5 x$ y $5 x$ .

$25 + 0 - x^{2} = y (8 + x^{2})$

Paso 4.2.3.3

Suma $25$ y $0$ .

$25 - x^{2} = y (8 + x^{2})$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$25 - x^{2} = y \cdot 8 + y x^{2}$

Paso 4.3.2

Mueve $8$ a la izquierda de $y$ .

$25 - x^{2} = 8 y + y x^{2}$

Paso 5

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.1

Resta $y x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$25 - x^{2} - y x^{2} = 8 y$

Paso 5.2

Resta $25$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} - y x^{2} = 8 y - 25$

Paso 5.3

Factoriza $x^{2}$ de $- x^{2} - y x^{2}$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$x^{2} \cdot - 1 - y x^{2} = 8 y - 25$

Paso 5.3.2

Factoriza $x^{2}$ de $- y x^{2}$ .

$x^{2} \cdot - 1 + x^{2} (- y) = 8 y - 25$

Paso 5.3.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} \cdot - 1 + x^{2} (- y)$ .

$x^{2} (- 1 - y) = 8 y - 25$

Paso 5.4

Divide cada término en $x^{2} (- 1 - y) = 8 y - 25$ por $- 1 - y$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $x^{2} (- 1 - y) = 8 y - 25$ por $- 1 - y$ .

$\frac{x^{2} (- 1 - y)}{- 1 - y} = \frac{8 y}{- 1 - y} + \frac{- 25}{- 1 - y}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $- 1 - y$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} (- 1 - y)}{- 1 - y} = \frac{8 y}{- 1 - y} + \frac{- 25}{- 1 - y}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{8 y}{- 1 - y} + \frac{- 25}{- 1 - y}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{2} = \frac{8 y - 25}{- 1 - y}$

Paso 5.4.3.2

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x^{2} = \frac{8 y - 25}{- 1 (1) - y}$

Paso 5.4.3.3

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$x^{2} = \frac{8 y - 25}{- 1 (1) - (y)}$

Paso 5.4.3.4

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (y)$ .

$x^{2} = \frac{8 y - 25}{- 1 (1 + y)}$

Paso 5.4.3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} = - \frac{8 y - 25}{1 + y}$

Paso 5.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{8 y - 25}{1 + y}}$

Paso 5.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{- \frac{8 y - 25}{1 + y}}$

Paso 5.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{- \frac{8 y - 25}{1 + y}}$

Paso 5.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{- \frac{8 y - 25}{1 + y}}$

$x = - \sqrt{- \frac{8 y - 25}{1 + y}}$

$x = \sqrt{- \frac{8 y - 25}{1 + y}}$

$x = - \sqrt{- \frac{8 y - 25}{1 + y}}$

$x = \sqrt{- \frac{8 y - 25}{1 + y}}$

$x = - \sqrt{- \frac{8 y - 25}{1 + y}}$