Matemática discreta Ejemplos

$8 y^{3} - 1 = 0$

Paso 1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$8 y^{3} = 1$

Paso 2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$8 y^{3} - 1 = 0$

Paso 3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Reescribe $8 y^{3}$ como ${(2 y)}^{3}$ .

${(2 y)}^{3} - 1 = 0$

Paso 3.2

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

${(2 y)}^{3} - 1^{3} = 0$

Paso 3.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 2 y$ y $b = 1$ .

$(2 y - 1) ({(2 y)}^{2} + 2 y \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Aplica la regla del producto a $2 y$ .

$(2 y - 1) (2^{2} y^{2} + 2 y \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 3.4.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$(2 y - 1) (4 y^{2} + 2 y \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 3.4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$(2 y - 1) (4 y^{2} + 2 y + 1^{2}) = 0$

Paso 3.4.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(2 y - 1) (4 y^{2} + 2 y + 1) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 y - 1 = 0$

$4 y^{2} + 2 y + 1 = 0$

Paso 5

Establece $2 y - 1$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 5.1

Establece $2 y - 1$ igual a $0$ .

$2 y - 1 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $2 y - 1 = 0$ en $y$ .

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Paso 5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y = 1$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $2 y = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $2 y = 1$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 5.2.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{1}{2}$

Paso 6

Establece $4 y^{2} + 2 y + 1$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 6.1

Establece $4 y^{2} + 2 y + 1$ igual a $0$ .

$4 y^{2} + 2 y + 1 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $4 y^{2} + 2 y + 1 = 0$ en $y$ .

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Paso 6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 6.2.2

Sustituye los valores $a = 4$ , $b = 2$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.2.3

Simplifica.

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Paso 6.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.3.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

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Paso 6.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.2.3.1.2.2

Multiplica $- 16$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.2.3.1.3

Resta $16$ de $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.2.3.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.2.3.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 6.2.3.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.2.3.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Paso 6.2.3.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.2.3.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Paso 6.2.3.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$y = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Paso 6.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 y - 1) (4 y^{2} + 2 y + 1) = 0$ verdadera.

$y = \frac{1}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$