Matemática discreta Ejemplos

$y = 2 x - | 4 - x^{2} |$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $2 x - | 4 - x^{2} | = y$ .

$2 x - | 4 - x^{2} | = y$

Paso 2

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$- | 4 - x^{2} | = y - 2 x$

Paso 3

Divide cada término en $- | 4 - x^{2} | = y - 2 x$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.1

Divide cada término en $- | 4 - x^{2} | = y - 2 x$ por $- 1$ .

$\frac{- | 4 - x^{2} |}{- 1} = \frac{y}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{| 4 - x^{2} |}{1} = \frac{y}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1}$

Paso 3.2.2

Divide $| 4 - x^{2} |$ por $1$ .

$| 4 - x^{2} | = \frac{y}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{y}{- 1}$ .

$| 4 - x^{2} | = - 1 \cdot y + \frac{- 2 x}{- 1}$

Paso 3.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot y$ como $- y$ .

$| 4 - x^{2} | = - y + \frac{- 2 x}{- 1}$

Paso 3.3.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{- 2 x}{- 1}$ .

$| 4 - x^{2} | = - y - 1 \cdot (- 2 x)$

Paso 3.3.1.4

Reescribe $- 1 \cdot (- 2 x)$ como $- (- 2 x)$ .

$| 4 - x^{2} | = - y - (- 2 x)$

Paso 3.3.1.5

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$| 4 - x^{2} | = - y + 2 x$

Paso 4

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$4 - x^{2} = \pm (- y + 2 x)$

Paso 5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$4 - x^{2} = - y + 2 x$

Paso 5.2

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$4 - x^{2} - 2 x = - y$

Paso 5.3

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$4 - x^{2} - 2 x + y = 0$

Paso 5.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5.5

Sustituye los valores $a = - 1$ , $b = - 2$ y $c = 4 + y$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (4 + y))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 5.6

Simplifica.

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Paso 5.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.6.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot (4 + y)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 5.6.1.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot (4 + y)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 5.6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 4 + 4 y}}{2 \cdot - 1}$

Paso 5.6.1.4

Multiplica $4$ por $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16 + 4 y}}{2 \cdot - 1}$

Paso 5.6.1.5

Suma $4$ y $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20 + 4 y}}{2 \cdot - 1}$

Paso 5.6.1.6

Factoriza $4$ de $20 + 4 y$ .

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Paso 5.6.1.6.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 5 + 4 y}}{2 \cdot - 1}$

Paso 5.6.1.6.2

Factoriza $4$ de $4 \cdot 5 + 4 y$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5 + y)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 5.6.1.7

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (5 + y)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 5.6.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5 + y}}{2 \cdot - 1}$

Paso 5.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5 + y}}{- 2}$

Paso 5.6.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5 + y}}{- 2}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5 + y}}{- 1}$

Paso 5.6.4

Mueve el negativo del denominador de $\frac{1 \pm \sqrt{5 + y}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (1 \pm \sqrt{5 + y})$

Paso 5.6.5

Reescribe $- 1 \cdot (1 \pm \sqrt{5 + y})$ como $- (1 \pm \sqrt{5 + y})$ .

$x = - (1 \pm \sqrt{5 + y})$

Paso 5.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 1 - \sqrt{5 + y}$

$x = - 1 + \sqrt{5 + y}$

Paso 5.8

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$4 - x^{2} = - (- y + 2 x)$

Paso 5.9

Simplifica $- (- y + 2 x)$ .

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Paso 5.9.1

Reescribe.

$4 - x^{2} = 0 + 0 - (- y + 2 x)$

Paso 5.9.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$4 - x^{2} = - (- y + 2 x)$

Paso 5.9.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 - x^{2} = - - y - (2 x)$

Paso 5.9.4

Multiplica $- - y$ .

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Paso 5.9.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$4 - x^{2} = 1 y - (2 x)$

Paso 5.9.4.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$4 - x^{2} = y - (2 x)$

Paso 5.9.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$4 - x^{2} = y - 2 x$

Paso 5.10

Suma $2 x$ a ambos lados de la ecuación.

$4 - x^{2} + 2 x = y$

Paso 5.11

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$4 - x^{2} + 2 x - y = 0$

Paso 5.12

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5.13

Sustituye los valores $a = - 1$ , $b = 2$ y $c = 4 - y$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (4 - y))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 5.14

Simplifica.

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Paso 5.14.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.14.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot (4 - y)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 5.14.1.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot (4 - y)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 5.14.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 4 + 4 (- y)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 5.14.1.4

Multiplica $4$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 16 + 4 (- y)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 5.14.1.5

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 16 - 4 y}}{2 \cdot - 1}$

Paso 5.14.1.6

Suma $4$ y $16$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{20 - 4 y}}{2 \cdot - 1}$

Paso 5.14.1.7

Factoriza $4$ de $20 - 4 y$ .

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Paso 5.14.1.7.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (5) - 4 y}}{2 \cdot - 1}$

Paso 5.14.1.7.2

Factoriza $4$ de $- 4 y$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (5) + 4 (- y)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 5.14.1.7.3

Factoriza $4$ de $4 (5) + 4 (- y)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (5 - y)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 5.14.1.8

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (5 - y)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 5.14.1.9

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5 - y}}{2 \cdot - 1}$

Paso 5.14.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5 - y}}{- 2}$

Paso 5.14.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5 - y}}{- 2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5 - y}$

Paso 5.15

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 1 + \sqrt{5 - y}$

$x = 1 - \sqrt{5 - y}$

Paso 5.16

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = - 1 - \sqrt{5 + y}$

$x = - 1 + \sqrt{5 + y}$

$x = 1 + \sqrt{5 - y}$

$x = 1 - \sqrt{5 - y}$

$x = - 1 - \sqrt{5 + y}$

$x = - 1 + \sqrt{5 + y}$

$x = 1 + \sqrt{5 - y}$

$x = 1 - \sqrt{5 - y}$