Matemática discreta Ejemplos

$y = \sqrt{64 - x^{2}}$ domain

Paso 1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{64 - x^{2}} = y$ .

$\sqrt{64 - x^{2}} = y$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{64 - x^{2}}}^{2} = y^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{64 - x^{2}}$ como ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = y^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${({(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = y^{2}$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = y^{2}$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(64 - x^{2})}^{1} = y^{2}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica.

$64 - x^{2} = y^{2}$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Resta $64$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} = y^{2} - 64$

Paso 4.2

Divide cada término en $- x^{2} = y^{2} - 64$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.2.1

Divide cada término en $- x^{2} = y^{2} - 64$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 64}{- 1}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 64}{- 1}$

Paso 4.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 64}{- 1}$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{y^{2}}{- 1}$ .

$x^{2} = - 1 \cdot y^{2} + \frac{- 64}{- 1}$

Paso 4.2.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot y^{2}$ como $- y^{2}$ .

$x^{2} = - y^{2} + \frac{- 64}{- 1}$

Paso 4.2.3.1.3

Divide $- 64$ por $- 1$ .

$x^{2} = - y^{2} + 64$

Paso 4.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- y^{2} + 64}$

Paso 4.4

Simplifica $\pm \sqrt{- y^{2} + 64}$ .

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Paso 4.4.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.4.1.1

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- y^{2} + 8^{2}}$

Paso 4.4.1.2

Reordena $- y^{2}$ y $8^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{8^{2} - y^{2}}$

Paso 4.4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 8$ y $b = y$ .

$x = \pm \sqrt{(8 + y) (8 - y)}$

Paso 4.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{(8 + y) (8 - y)}$

Paso 4.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{(8 + y) (8 - y)}$

Paso 4.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{(8 + y) (8 - y)}$

$x = - \sqrt{(8 + y) (8 - y)}$

$x = \sqrt{(8 + y) (8 - y)}$

$x = - \sqrt{(8 + y) (8 - y)}$

$x = \sqrt{(8 + y) (8 - y)}$

$x = - \sqrt{(8 + y) (8 - y)}$