Matemática discreta Ejemplos

$y = - \sqrt{49 - x^{2}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $- \sqrt{49 - x^{2}} = y$ .

$- \sqrt{49 - x^{2}} = y$

Paso 2

Divide cada término en $- \sqrt{49 - x^{2}} = y$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $- \sqrt{49 - x^{2}} = y$ por $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{49 - x^{2}}}{- 1} = \frac{y}{- 1}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.2.1.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\sqrt{49 - x^{2}}}{1} = \frac{y}{- 1}$

Paso 2.2.1.2

Escribe la expresión usando exponentes.

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Paso 2.2.1.2.1

Divide $\sqrt{49 - x^{2}}$ por $1$ .

$\sqrt{49 - x^{2}} = \frac{y}{- 1}$

Paso 2.2.1.2.2

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$\sqrt{7^{2} - x^{2}} = \frac{y}{- 1}$

Paso 2.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 7$ y $b = x$ .

$\sqrt{(7 + x) (7 - x)} = \frac{y}{- 1}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{y}{- 1}$ .

$\sqrt{(7 + x) (7 - x)} = - 1 \cdot y$

Paso 2.3.2

Reescribe $- 1 \cdot y$ como $- y$ .

$\sqrt{(7 + x) (7 - x)} = - y$

Paso 3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{(7 + x) (7 - x)}}^{2} = {(- y)}^{2}$

Paso 4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ como ${((7 + x) (7 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((7 + x) (7 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- y)}^{2}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica ${({((7 + x) (7 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({((7 + x) (7 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((7 + x) (7 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- y)}^{2}$

Paso 4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${((7 + x) (7 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- y)}^{2}$

Paso 4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${((7 + x) (7 - x))}^{1} = {(- y)}^{2}$

Paso 4.2.1.2

Expande $(7 + x) (7 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

${(7 (7 - x) + x (7 - x))}^{1} = {(- y)}^{2}$

Paso 4.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

${(7 \cdot 7 + 7 (- x) + x (7 - x))}^{1} = {(- y)}^{2}$

Paso 4.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

${(7 \cdot 7 + 7 (- x) + x \cdot 7 + x (- x))}^{1} = {(- y)}^{2}$

Paso 4.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.3.1.1

Multiplica $7$ por $7$ .

${(49 + 7 (- x) + x \cdot 7 + x (- x))}^{1} = {(- y)}^{2}$

Paso 4.2.1.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $7$ .

${(49 - 7 x + x \cdot 7 + x (- x))}^{1} = {(- y)}^{2}$

Paso 4.2.1.3.1.3

Mueve $7$ a la izquierda de $x$ .

${(49 - 7 x + 7 \cdot x + x (- x))}^{1} = {(- y)}^{2}$

Paso 4.2.1.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

${(49 - 7 x + 7 x - x \cdot x)}^{1} = {(- y)}^{2}$

Paso 4.2.1.3.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1.3.1.5.1

Mueve $x$ .

${(49 - 7 x + 7 x - (x \cdot x))}^{1} = {(- y)}^{2}$

Paso 4.2.1.3.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

${(49 - 7 x + 7 x - x^{2})}^{1} = {(- y)}^{2}$

Paso 4.2.1.3.2

Suma $- 7 x$ y $7 x$ .

${(49 + 0 - x^{2})}^{1} = {(- y)}^{2}$

Paso 4.2.1.3.3

Suma $49$ y $0$ .

${(49 - x^{2})}^{1} = {(- y)}^{2}$

Paso 4.2.1.4

Simplifica.

$49 - x^{2} = {(- y)}^{2}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Simplifica ${(- y)}^{2}$ .

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Paso 4.3.1.1

Aplica la regla del producto a $- y$ .

$49 - x^{2} = {(- 1)}^{2} y^{2}$

Paso 4.3.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$49 - x^{2} = 1 y^{2}$

Paso 4.3.1.3

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$49 - x^{2} = y^{2}$

Paso 5

Resuelve $x$

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Paso 5.1

Resta $49$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} = y^{2} - 49$

Paso 5.2

Divide cada término en $- x^{2} = y^{2} - 49$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $- x^{2} = y^{2} - 49$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 49}{- 1}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 49}{- 1}$

Paso 5.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 49}{- 1}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{y^{2}}{- 1}$ .

$x^{2} = - 1 \cdot y^{2} + \frac{- 49}{- 1}$

Paso 5.2.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot y^{2}$ como $- y^{2}$ .

$x^{2} = - y^{2} + \frac{- 49}{- 1}$

Paso 5.2.3.1.3

Divide $- 49$ por $- 1$ .

$x^{2} = - y^{2} + 49$

Paso 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- y^{2} + 49}$

Paso 5.4

Simplifica $\pm \sqrt{- y^{2} + 49}$ .

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Paso 5.4.1

Simplifica la expresión.

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Paso 5.4.1.1

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- y^{2} + 7^{2}}$

Paso 5.4.1.2

Reordena $- y^{2}$ y $7^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{7^{2} - y^{2}}$

Paso 5.4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 7$ y $b = y$ .

$x = \pm \sqrt{(7 + y) (7 - y)}$

Paso 5.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{(7 + y) (7 - y)}$

Paso 5.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{(7 + y) (7 - y)}$

Paso 5.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{(7 + y) (7 - y)}$

$x = - \sqrt{(7 + y) (7 - y)}$

$x = \sqrt{(7 + y) (7 - y)}$

$x = - \sqrt{(7 + y) (7 - y)}$

$x = \sqrt{(7 + y) (7 - y)}$

$x = - \sqrt{(7 + y) (7 - y)}$