Matemática discreta Ejemplos

$\frac{1}{x^{4}} = {(\frac{1}{x})}^{y - 1}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como ${(\frac{1}{x})}^{y - 1} = \frac{1}{x^{4}}$ .

${(\frac{1}{x})}^{y - 1} = \frac{1}{x^{4}}$

Paso 2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln ({(\frac{1}{x})}^{y - 1}) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Paso 3

Expande el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Expande $\ln ({(\frac{1}{x})}^{y - 1})$ ; para ello, mueve $y - 1$ fuera del logaritmo.

$(y - 1) \ln (\frac{1}{x}) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (\frac{1}{x})$ como $\ln (1) - \ln (x)$ .

$(y - 1) (\ln (1) - \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Paso 3.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$(y - 1) (0 - \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Paso 3.4

Resta $\ln (x)$ de $0$ .

$(y - 1) (- \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Paso 4

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Simplifica $(y - 1) (- \ln (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y (- \ln (x)) - 1 (- \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Paso 4.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- y \ln (x) - 1 (- \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Paso 4.1.3

Multiplica $- 1 (- \ln (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- y \ln (x) + 1 \ln (x) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Paso 4.1.3.2

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$- y \ln (x) + \ln (x) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Paso 5

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$- y \ln (x) + \ln (x) - \ln (\frac{1}{x^{4}}) = 0$

Paso 6

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- y \ln (x) + \ln (\frac{x}{\frac{1}{x^{4}}}) = 0$

Paso 7

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- y \ln (x) + \ln (x \cdot x^{4}) = 0$

Paso 7.2

Multiplica $x$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- y \ln (x) + \ln (x \cdot x^{4}) = 0$

Paso 7.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- y \ln (x) + \ln (x^{1 + 4}) = 0$

Paso 7.2.2

Suma $1$ y $4$ .

$- y \ln (x) + \ln (x^{5}) = 0$

Paso 8

Resta $\ln (x^{5})$ de ambos lados de la ecuación.

$- y \ln (x) = - \ln (x^{5})$

Paso 9

Divide cada término en $- y \ln (x) = - \ln (x^{5})$ por $- \ln (x)$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Divide cada término en $- y \ln (x) = - \ln (x^{5})$ por $- \ln (x)$ .

$\frac{- y \ln (x)}{- \ln (x)} = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}$

Paso 9.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}$

Paso 9.2.2

Cancela el factor común de $\ln (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}$

Paso 9.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}$

Paso 9.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = \frac{\ln (x^{5})}{\ln (x)}$