Matemática discreta Ejemplos

\frac{1}{x^{4}} = {(\frac{1}{x})}^{y - 1}

$\frac{1}{x^{4}} = {(\frac{1}{x})}^{y - 1}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como

{(\frac{1}{x})}^{y - 1} = \frac{1}{x^{4}}

${(\frac{1}{x})}^{y - 1} = \frac{1}{x^{4}}$ .

{(\frac{1}{x})}^{y - 1} = \frac{1}{x^{4}}

${(\frac{1}{x})}^{y - 1} = \frac{1}{x^{4}}$

Paso 2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

\ln ({(\frac{1}{x})}^{y - 1}) = \ln (\frac{1}{x^{4}})

$\ln ({(\frac{1}{x})}^{y - 1}) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Paso 3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Expande

\ln ({(\frac{1}{x})}^{y - 1})

$\ln ({(\frac{1}{x})}^{y - 1})$ ; para ello, mueve

y - 1

$y - 1$ fuera del logaritmo.

(y - 1) \ln (\frac{1}{x}) = \ln (\frac{1}{x^{4}})

$(y - 1) \ln (\frac{1}{x}) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Paso 3.2

Reescribe

\ln (\frac{1}{x})

$\ln (\frac{1}{x})$ como

\ln (1) - \ln (x)

$\ln (1) - \ln (x)$ .

(y - 1) (\ln (1) - \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})

$(y - 1) (\ln (1) - \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Paso 3.3

El logaritmo natural de

1

$1$ es

0

$0$ .

(y - 1) (0 - \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})

$(y - 1) (0 - \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Paso 3.4

Resta

\ln (x)

$\ln (x)$ de

0

$0$ .

(y - 1) (- \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})

$(y - 1) (- \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

(y - 1) (- \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})

$(y - 1) (- \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Paso 4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1

Simplifica

(y - 1) (- \ln (x))

$(y - 1) (- \ln (x))$ .

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

y (- \ln (x)) - 1 (- \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})

$y (- \ln (x)) - 1 (- \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Paso 4.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

- y \ln (x) - 1 (- \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})

$- y \ln (x) - 1 (- \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Paso 4.1.3

Multiplica

- 1 (- \ln (x))

$- 1 (- \ln (x))$ .

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Paso 4.1.3.1

Multiplica

- 1

$- 1$ por

- 1

$- 1$ .

- y \ln (x) + 1 \ln (x) = \ln (\frac{1}{x^{4}})

$- y \ln (x) + 1 \ln (x) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Paso 4.1.3.2

Multiplica

\ln (x)

$\ln (x)$ por

1

$1$ .

- y \ln (x) + \ln (x) = \ln (\frac{1}{x^{4}})

$- y \ln (x) + \ln (x) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

- y \ln (x) + \ln (x) = \ln (\frac{1}{x^{4}})

$- y \ln (x) + \ln (x) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

- y \ln (x) + \ln (x) = \ln (\frac{1}{x^{4}})

$- y \ln (x) + \ln (x) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

- y \ln (x) + \ln (x) = \ln (\frac{1}{x^{4}})

$- y \ln (x) + \ln (x) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Paso 5

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

- y \ln (x) + \ln (x) - \ln (\frac{1}{x^{4}}) = 0

$- y \ln (x) + \ln (x) - \ln (\frac{1}{x^{4}}) = 0$

Paso 6

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos,

\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

- y \ln (x) + \ln (\frac{x}{\frac{1}{x^{4}}}) = 0

$- y \ln (x) + \ln (\frac{x}{\frac{1}{x^{4}}}) = 0$

Paso 7

Simplifica cada término.

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Paso 7.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

- y \ln (x) + \ln (x \cdot x^{4}) = 0

$- y \ln (x) + \ln (x \cdot x^{4}) = 0$

Paso 7.2

Multiplica

x

$x$ por

x^{4}

$x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.2.1

Multiplica

x

$x$ por

x^{4}

$x^{4}$ .

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Paso 7.2.1.1

Eleva

x

$x$ a la potencia de

1

$1$ .

- y \ln (x) + \ln (x \cdot x^{4}) = 0

$- y \ln (x) + \ln (x \cdot x^{4}) = 0$

Paso 7.2.1.2

Usa la regla de la potencia

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

- y \ln (x) + \ln (x^{1 + 4}) = 0

$- y \ln (x) + \ln (x^{1 + 4}) = 0$

- y \ln (x) + \ln (x^{1 + 4}) = 0

$- y \ln (x) + \ln (x^{1 + 4}) = 0$

Paso 7.2.2

Suma

1

$1$ y

4

$4$ .

- y \ln (x) + \ln (x^{5}) = 0

$- y \ln (x) + \ln (x^{5}) = 0$

- y \ln (x) + \ln (x^{5}) = 0

$- y \ln (x) + \ln (x^{5}) = 0$

- y \ln (x) + \ln (x^{5}) = 0

$- y \ln (x) + \ln (x^{5}) = 0$

Paso 8

Resta

\ln (x^{5})

$\ln (x^{5})$ de ambos lados de la ecuación.

- y \ln (x) = - \ln (x^{5})

$- y \ln (x) = - \ln (x^{5})$

Paso 9

Divide cada término en

- y \ln (x) = - \ln (x^{5})

$- y \ln (x) = - \ln (x^{5})$ por

- \ln (x)

$- \ln (x)$ y simplifica.

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Paso 9.1

Divide cada término en

- y \ln (x) = - \ln (x^{5})

$- y \ln (x) = - \ln (x^{5})$ por

- \ln (x)

$- \ln (x)$ .

\frac{- y \ln (x)}{- \ln (x)} = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}

$\frac{- y \ln (x)}{- \ln (x)} = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}$

Paso 9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

\frac{y \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}

$\frac{y \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}$

Paso 9.2.2

Cancela el factor común de

\ln (x)

$\ln (x)$ .

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Paso 9.2.2.1

Cancela el factor común.

\frac{y \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}

$\frac{y \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}$

Paso 9.2.2.2

Divide

y

$y$ por

1

$1$ .

y = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}

$y = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}$

y = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}

$y = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}$

y = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}

$y = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}$

Paso 9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

y = \frac{\ln (x^{5})}{\ln (x)}

$y = \frac{\ln (x^{5})}{\ln (x)}$

y = \frac{\ln (x^{5})}{\ln (x)}

$y = \frac{\ln (x^{5})}{\ln (x)}$

y = \frac{\ln (x^{5})}{\ln (x)}

$y = \frac{\ln (x^{5})}{\ln (x)}$