Matemática discreta Ejemplos

$y = x \div x^{2} + 5 x + 6$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $x \div x^{2} + 5 x + 6 = y$ .

$x \div x^{2} + 5 x + 6 = y$

Paso 2

Reduce la expresión $x \div x^{2}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{1} \div x^{2} + 5 x + 6 = y$

Paso 2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$x \cdot 1 \div x^{2} + 5 x + 6 = y$

Paso 2.3

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot 1 \div x \cdot x + 5 x + 6 = y$

Paso 2.4

Cancela el factor común.

$x \cdot 1 \div x \cdot x + 5 x + 6 = y$

Paso 2.5

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x} + 5 x + 6 = y$

Paso 3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x, 1, 1, 1$

Paso 3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x$

Paso 4

Multiplica cada término en $\frac{1}{x} + 5 x + 6 = y$ por $x$ para eliminar las fracciones.

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Paso 4.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{x} + 5 x + 6 = y$ por $x$ .

$\frac{1}{x} x + 5 x \cdot x + 6 x = y x$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x} x + 5 x \cdot x + 6 x = y x$

Paso 4.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$1 + 5 x \cdot x + 6 x = y x$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1.2.1

Mueve $x$ .

$1 + 5 (x \cdot x) + 6 x = y x$

Paso 4.2.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$1 + 5 x^{2} + 6 x = y x$

Paso 5

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.1

Resta $y x$ de ambos lados de la ecuación.

$1 + 5 x^{2} + 6 x - y x = 0$

Paso 5.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5.3

Sustituye los valores $a = 5$ , $b = 6 - y$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- (6 - y) \pm \sqrt{{(6 - y)}^{2} - 4 \cdot (5 \cdot 1)}}{2 \cdot 5}$

Paso 5.4

Simplifica.

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Paso 5.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{- 1 \cdot 6 + y \pm \sqrt{{(6 - y)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Paso 5.4.1.2

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$x = \frac{- 6 + y \pm \sqrt{{(6 - y)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Paso 5.4.1.3

Multiplica $- - y$ .

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Paso 5.4.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 6 + 1 y \pm \sqrt{{(6 - y)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Paso 5.4.1.3.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$x = \frac{- 6 + y \pm \sqrt{{(6 - y)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Paso 5.4.1.4

Reescribe ${(6 - y)}^{2}$ como $(6 - y) (6 - y)$ .

$x = \frac{- 6 + y \pm \sqrt{(6 - y) (6 - y) - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Paso 5.4.1.5

Expande $(6 - y) (6 - y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.4.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{- 6 + y \pm \sqrt{6 (6 - y) - y (6 - y) - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Paso 5.4.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{- 6 + y \pm \sqrt{6 \cdot 6 + 6 (- y) - y (6 - y) - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Paso 5.4.1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{- 6 + y \pm \sqrt{6 \cdot 6 + 6 (- y) - y \cdot 6 - y (- y) - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Paso 5.4.1.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.4.1.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.1.6.1.1

Multiplica $6$ por $6$ .

$x = \frac{- 6 + y \pm \sqrt{36 + 6 (- y) - y \cdot 6 - y (- y) - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Paso 5.4.1.6.1.2

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$x = \frac{- 6 + y \pm \sqrt{36 - 6 y - y \cdot 6 - y (- y) - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Paso 5.4.1.6.1.3

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 6 + y \pm \sqrt{36 - 6 y - 6 y - y (- y) - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Paso 5.4.1.6.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x = \frac{- 6 + y \pm \sqrt{36 - 6 y - 6 y - 1 \cdot (- 1 y \cdot y) - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Paso 5.4.1.6.1.5

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 5.4.1.6.1.5.1

Mueve $y$ .

$x = \frac{- 6 + y \pm \sqrt{36 - 6 y - 6 y - 1 \cdot (- 1 (y \cdot y)) - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Paso 5.4.1.6.1.5.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$x = \frac{- 6 + y \pm \sqrt{36 - 6 y - 6 y - 1 \cdot (- 1 y^{2}) - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Paso 5.4.1.6.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 6 + y \pm \sqrt{36 - 6 y - 6 y + 1 y^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Paso 5.4.1.6.1.7

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$x = \frac{- 6 + y \pm \sqrt{36 - 6 y - 6 y + y^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Paso 5.4.1.6.2

Resta $6 y$ de $- 6 y$ .

$x = \frac{- 6 + y \pm \sqrt{36 - 12 y + y^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Paso 5.4.1.7

Multiplica $- 4 \cdot 5 \cdot 1$ .

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Paso 5.4.1.7.1

Multiplica $- 4$ por $5$ .

$x = \frac{- 6 + y \pm \sqrt{36 - 12 y + y^{2} - 20 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Paso 5.4.1.7.2

Multiplica $- 20$ por $1$ .

$x = \frac{- 6 + y \pm \sqrt{36 - 12 y + y^{2} - 20}}{2 \cdot 5}$

Paso 5.4.1.8

Resta $20$ de $36$ .

$x = \frac{- 6 + y \pm \sqrt{- 12 y + y^{2} + 16}}{2 \cdot 5}$

Paso 5.4.1.9

Reordena los términos.

$x = \frac{- 6 + y \pm \sqrt{y^{2} - 12 y + 16}}{2 \cdot 5}$

Paso 5.4.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$x = \frac{- 6 + y \pm \sqrt{y^{2} - 12 y + 16}}{10}$

Paso 5.5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{6 - y - \sqrt{y^{2} - 12 y + 16}}{10}$

$x = - \frac{6 - y + \sqrt{y^{2} - 12 y + 16}}{10}$

$x = - \frac{6 - y - \sqrt{y^{2} - 12 y + 16}}{10}$

$x = - \frac{6 - y + \sqrt{y^{2} - 12 y + 16}}{10}$